Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a expressão
:
- Uma explicação com palavras do que essa igualdade significa.
- A escrita do significado matemático preciso (a definição formal) da expressão.
- Um exemplo de uma função
que satisfaça essa condição.
Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Intuição (explicação com palavras, bem simples e concreta).
Dizer que quer dizer o seguinte em linguagem natural: quando
vai muito para a esquerda na reta numérica (isto é,
se torna um número muito negativo), os valores
se aproximam cada vez mais do número
. Em outras palavras, para
suficientemente negativo,
fica tão perto de
quanto a gente quiser.
Dizer que
Um jeito de imaginar: mova-se para a esquerda sem parar (
); os valores de
vão se aproximando de
.
Passo 3
Definição formal (significado matemático preciso).
A forma rigorosa dessa afirmação usa a linguagem “para todo existe …”. Escreve-se assim:
A forma rigorosa dessa afirmação usa a linguagem “para todo
Vou explicar cada símbolo:
-
é a precisão que eu quero: "quão perto de " eu exijo que esteja. -
é um número real que depende de : ele define a região à esquerda (valores de menores que ) onde a aproximação acontece. - A condição "se
então " significa que, para todos os suficientemente negativos (menores que ), a distância entre e é menor que .
Essa é exatamente a versão da definição de limite quando
tende a
.
Passo 4
Observações úteis e diferenças com outras situações (para te orientar na prova).
- Isso não exige nada sobre o valor de
em pontos individuais: pode até não estar definida em alguns pontos, ou pode não existir; o importante é o comportamento para muito negativos. - Não confundir com
: nesse caso a condição seria tal que se então . O sinal da desigualdade no domínio muda porque estamos olhando para a direita, não para a esquerda. - Em provas, para mostrar
normalmente se toma um genérico e se constrói um (em função de ) que garante sempre que .
Passo 5
Exemplo concreto de função que satisfaz a condição e prova passo a passo para esse exemplo.
Escolho a função
Escolho a função
Por que essa escolha é boa? Porque
, logo
deve tender a
quando
.
Prova formal usando a definição:
- Tome um
arbitrário. - Note que
(pois para todo ). - Queremos garantir
. Isso é equivalente a porque a função é a inversa de . - Portanto, se escolhermos
temos: sempre que então , i.e. . - Como isso vale para todo
com um correspondente, concluímos que .
Observações pequenas sobre a escolha de
:
- Para
a quantidade existe (é algum número real, possivelmente negativo). Ela funciona como para todos os , então a prova é completa.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova em prova de faculdade (tomando a tua mão amiga).
- Estratégia padrão: pegar
genérico e reescrever em termos de para encontrar um explícito. Se conseguir expressar em função de , a prova está feita. - Funções que tipicamente funcionam bem como exemplos:
, (qualquer termo que vá a quando ), ou . - Não confundir limite em infinito com continuidade em um ponto: limite em infinito não tem a ver com o valor
em nenhum .