Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a expressão \lim_{x\to -\infty} f(x)=3:
  • Uma explicação com palavras do que essa igualdade significa.
  • A escrita do significado matemático preciso (a definição formal) da expressão.
  • Um exemplo de uma função f que satisfaça essa condição.
Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Intuição (explicação com palavras, bem simples e concreta).
Dizer que \lim_{x\to -\infty} f(x)=3 quer dizer o seguinte em linguagem natural: quando x vai muito para a esquerda na reta numérica (isto é, x se torna um número muito negativo), os valores f(x) se aproximam cada vez mais do número 3. Em outras palavras, para x suficientemente negativo, f(x) fica tão perto de 3 quanto a gente quiser.
Um jeito de imaginar: mova-se para a esquerda sem parar ( x=-10,-100,-1000,\dots ); os valores de f(x) vão se aproximando de 3.

Passo 3

Definição formal (significado matemático preciso).
A forma rigorosa dessa afirmação usa a linguagem “para todo \varepsilon>0 existe …”. Escreve-se assim:
\forall \varepsilon>0\;\exists M\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ \text{se }x<M\text{ então }|f(x)-3|<\varepsilon.ã
Vou explicar cada símbolo:
  • \varepsilon>0 é a precisão que eu quero: "quão perto de 3" eu exijo que f(x) esteja.
  • M\in\mathbb{R} é um número real que depende de \varepsilon: ele define a região à esquerda (valores de x menores que M) onde a aproximação acontece.
  • A condição "se x<M então |f(x)-3|<\varepsilon" significa que, para todos os x suficientemente negativos (menores que M), a distância entre f(x) e 3 é menor que \varepsilon.
Essa é exatamente a versão da definição de limite quando x tende a -\infty.

Passo 4

Observações úteis e diferenças com outras situações (para te orientar na prova).
  • Isso não exige nada sobre o valor de f em pontos individuais: f pode até não estar definida em alguns pontos, ou f(-1000) pode não existir; o importante é o comportamento para x muito negativos.
  • Não confundir com \lim_{x\to +\infty} f(x)=3: nesse caso a condição seria \exists M tal que se x>M então |f(x)-3|<\varepsilon. O sinal da desigualdade no domínio muda porque estamos olhando para a direita, não para a esquerda.
  • Em provas, para mostrar \lim_{x\to -\infty} f(x)=3 normalmente se toma um \varepsilon>0 genérico e se constrói um M (em função de \varepsilon) que garante |f(x)-3|<\varepsilon sempre que x<M.

Passo 5

Exemplo concreto de função que satisfaz a condição e prova passo a passo para esse exemplo.
Escolho a função
f(x)=3+e^{x}.
Por que essa escolha é boa? Porque \lim_{x\to -\infty} e^{x}=0, logo f(x)=3+e^{x} deve tender a 3 quando x\to -\infty.
Prova formal usando a definição:
  • Tome um \varepsilon>0 arbitrário.
  • Note que |f(x)-3|=|e^{x}|=e^{x} (pois e^{x}>0 para todo x).
  • Queremos garantir e^{x}<\varepsilon. Isso é equivalente a x<\ln(\varepsilon) porque a função \ln é a inversa de e^{x}.
  • Portanto, se escolhermos M=\ln(\varepsilon) temos: sempre que x<M então e^{x}<e^{M}=\varepsilon, i.e. |f(x)-3|<\varepsilon.
  • Como isso vale para todo \varepsilon>0 com um M correspondente, concluímos que \lim_{x\to -\infty} f(x)=3.
Observações pequenas sobre a escolha de M:
  • Para \varepsilon>0 a quantidade \ln(\varepsilon) existe (é algum número real, possivelmente negativo). Ela funciona como M para todos os \varepsilon, então a prova é completa.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova em prova de faculdade (tomando a tua mão amiga).
  • Estratégia padrão: pegar \varepsilon>0 genérico e reescrever |f(x)-3|<\varepsilon em termos de x para encontrar um M explícito. Se conseguir expressar M em função de \varepsilon, a prova está feita.
  • Funções que tipicamente funcionam bem como exemplos: f(x)=3+e^{x}, f(x)=3+\dfrac{1}{1-x^2} (qualquer termo que vá a 0 quando x\to -\infty), ou f(x)=3+\dfrac{1}{|x|+1}.
  • Não confundir limite em infinito com continuidade em um ponto: limite em infinito não tem a ver com o valor f\text{(c)} em nenhum c.

Resposta

\forall \varepsilon>0\;\exists M\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ \text{se }x<M\text{ então }|f(x)-3|<\varepsilon.ã
f(x)=3+e^{x}

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