Explique por que no ponto de maximização da utilidade, a razão entre a utilidade marginal de cada bem pelo seu preço deve ser idêntica entre todos os bens.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos entender por que, ao maximizar a utilidade de um consumidor que escolhe quantidades x1,dots,xn de bens sujeitos ao orçamento M, a razão entre utilidade marginal e preço de cada bem deve coincidir em todos os bens. O conteúdo é otimização de função utilidade com restrição orçamentária, e vamos usar Lagrange para chegar à condição de ótimo.

Passo 2

Formulamos o problema de escolha do consumidor como
maxx1,dots,xn U(x1,dots,xn)
sujeito à restrição orçamentária
sumi=1^n pi,xi = M,
onde pi é o preço do bem i e U é crescente em cada argumento.

Passo 3

Construímos o Lagrangiano
L(x1,dots,xn,lambda) =U(x1,dots,xn);-;lambdal(sumi=1^n pi,xi - Mr)

Passo 4

As condições de primeira ordem exigem, para cada i,
partial Lpartial xi =partial Upartial xi-lambda,pi =0 Longrightarrow MUi = lambda,pi,
onde MUi=partial U/partial xi é a utilidade marginal do bem i. E ainda
partial Lpartial lambda =sumi=1^n pi,xi - M = 0,
que reavalia a restrição.

Passo 5

Das n equações MUi = lambda,pi podemos isolar lambda e comparar dois bens i e j:
lambda = MUipi e lambda = MUjpj Longrightarrow MUipi = MUjpj forall,i,j

Passo 6

Interpretação econômica: MUi/pi é a utilidade extra obtida por cada unidade monetária gasta no bem i. Se num ponto de consumo essas ratios fossem diferentes, haveria um bem com “mais utilidade por real” que outro. O consumidor então desviaria gasto do bem com razão menor para o bem com razão maior, aumentando sua utilidade total até que todas as razões se igualassem.

Resposta

No ótimo de utilidade sujeito ao orçamento,
MU1p1 =MU2p2 =cdots =MUnpn,
pois assim igualamos o retorno em utilidade por unidade monetária em todos os bens, removendo qualquer incentivo a realocar gasto.

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