Suponha que a utilidade seja dada por
U(x, y)=x^0,3 y^0,7
a) Use as funções de demanda não compensadas para calcular a função utilidade indireta e a função de despesa para este caso.
b) Use a função de despesa calculada no item (a) juntamente com o lema de Shephard para calcular a função de demanda compensada para o bem x.

Passo 1

O enunciado dá uma utilidade de tipo Cobb–Douglas
U(x,y)=x^0,3y^0,7,
e pede:
a) as funções de demanda não compensadas (Marshallianas) para achar a utilidade indireta V(px,py,I) e a despesa e(px,py,u);
b) usar e(px,py,u) e o lema de Shephard para obter a demanda compensada hx(px,py,u).

Passo 2

Para Cobb–Douglas com expoentes alpha=0,3 e beta=0,7, a demanda Marshalliana é
x(px,py,I)=alpha Ipx, y(px,py,I)=beta Ipy
Isto vem de maximizar x^alphay^beta sujeito a pxx+pyy=I, resultando em gastos proporcionais aos expoentes.

Passo 3

A utilidade indireta é só substituir as demandas na utilidade:
V(px,py,I) =Ul(x(p),y(p)r) =l(tfracalpha Ipxr)^alpha l(tfracbeta Ipyr)^beta
Como alpha+beta=1, isto simplifica para
V(px,py,I) =alpha^alpha,beta^beta,I,px^-alpha,py^-beta

Passo 4

A função de despesa e(px,py,u) é o inverso de V em I, ou seja, resolvemos
u=alpha^alphabeta^betaI,px^-alphapy^-beta
para I. Assim
e(px,py,u) =ualpha^alphabeta^beta,px^alphapy^beta =u,alpha^-alpha,beta^-beta,px^alpha,py^beta

Passo 5

Pelo lema de Shephard, a demanda Hicksiana para x é
hx(px,py,u) =partial e(px,py,u)partial px =alpha,u,alpha^-alpha,beta^-beta,px^alpha-1,py^beta
Isto corresponde à repartição de gastos mínima que atinge utilidade u.

Resposta

a)
V(px,py,I) =(0,3)^0,3(0,7)^0,7;I;px^-0,3;py^-0,7,
e(px,py,u) =u;(0,3)^-0,3(0,7)^-0,7;px^0,3;py^0,7
b)
hx(px,py,u) =0,3;u;(0,3)^-0,3(0,7)^-0,7;px^-0,7;py^0,7

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