Explique porque cada uma das funções abaixo é descontínua no ponto indicado.
f(x)=-1+sin xx-pi / 2 em p=pi / 2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos ver por que a função
f(x)=-1+sin xx-pi/2
é descontínua em p=pi/2. O conteúdo envolvido é continuidade de funções, domínio e cálculo de limite. Vamos precisar verificar se f está definida em x=pi/2 e, se não estiver, qual é o comportamento do limite quando xtopi/2.

Passo 2

Olhemos primeiro o domínio de f. O denominador x-pi/2 anula-se em x=pi/2, então f(x) não está definida nesse ponto. Logo já temos que em x=pi/2 a função não existe, o que caracteriza uma descontinuidade ou “buraco” aí.

Passo 3

Para saber se é uma descontinuidade removível, calculamos o limite
limxtopi/2-1+sin xx-pi/2
Note que ao substituir x=pi/2 diretamente, obtemos a forma indeterminada 0/0. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital:
limxtopi/2-1+sin xx-pi/2 =limxtopi/2ddx(sin x -1)ddx(x-pi/2) =limxtopi/2cos x1 =cosl(tfracpi2r)=0

Passo 4

Concluímos que
limxtopi/2f(x)=0,
ou seja, o limite existe e vale 0. Porém, como f(pi/2) não está definido, a função apresenta uma descontinuidade removível em x=pi/2.

Resposta

A função é descontínua em x=pi/2 porque não está definida aí (denominador zero), embora o limite lateral exista e valha 0, caracterizando uma descontinuidade removível.

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