Explique porque cada uma das funções abaixo é descontínua no ponto indicado.
f(x)=cc1-x & se x <= 2 x^2-2 x & se x>2 em p=2

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)= 1 - x, &se x<=2, x^2 - 2x, &se x>2,
e pede para mostrar que ela é descontínua em p=2. Para isso, vamos lembrar que f é contínua em x=2 somente se existir limxto2f(x) e ele for igual a f(2). Aqui usaremos o cálculo dos limites laterais.

Passo 2

Calculamos o valor da própria função em x=2. Como 2<=2, usamos o ramo 1-x:
f(2)=1-2=-1

Passo 3

Agora o limite pela esquerda, limxto2^-f(x). Para x<2, vale f(x)=1-x, que é contínua, então
limxto2^-f(x)=1-2=-1

Passo 4

Em seguida, o limite pela direita, limxto2^+f(x). Para x>2, vale f(x)=x^2-2x, contínua em todo ponto interior, logo
limxto2^+f(x)=2^2-2cdot2=4-4=0

Passo 5

Comparando:
limxto2^-f(x)=-1 neq 0=limxto2^+f(x),
logo o limite limxto2f(x) não existe. Como não há limite único igual a f(2), f é descontínua em x=2.

Resposta

A função é descontínua em p=2 porque os limites laterais são diferentes: limxto2^-f(x)=-1neq0=limxto2^+f(x).

Exercícios relacionados