Resolva as equações homogêneas:
(y^2+y x) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem homogênea
l(y^2+xyr),dx - x^2,dy = 0
Para isso, vamos reconhecer que M(x,y)=y^2+xy e N(x,y)=-x^2 são homogêneas de grau 2 e usar a substituição
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma de dy/dx:
(y^2+xy),dx = x^2,dy Longrightarrow dydx = y^2+xyx^2 = y^2x^2 + yx = v^2 + v

Passo 3

Com y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Igualando às expressões de dydx:
v + xdvdx = v^2 + v Longrightarrow xdvdx = v^2

Passo 4

Separamos variáveis:
dvv^2 = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dvv^2 = integral dxx Longrightarrow -,1v = lnl|xr| + C

Passo 6

Voltemos a y usando v = y/x, isto é tfrac1v = tfracxy. Assim
-,xy = lnl|xr| + C Longrightarrow xy + lnl|xr| = C',
onde C'=-C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral em forma implícita é
xy + lnl|xr| = C

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