Resolva as equações homogêneas:
[y+x cot (yx)] d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l[y + xcotl(tfracyxr)r],dx ;-; x,dy = 0
que é uma equação homogênea (pois cot(y/x) depende só de y/x). Para resolver, vamos escrever em forma de dy/dx e usar a substituição típica v=y/x.

Passo 2

Isolamos dy/dx. Da equação original temos
l[y + xcotl(tfracyxr)r],dx = x,dy Longrightarrow dydx = y + xcotl(tfracyxr)x = yx + cotl(tfracyxr)

Passo 3

Fazemos a substituição homogênea
v = yx Longrightarrow y = v,x e dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = yx + cotl(tfracyxr) obtemos
v + xdvdx = v + cot(v) Longrightarrow xdvdx = cot(v)

Passo 4

Separamos as variáveis e integramos:
integral tan(v),dv = integral dxx Longrightarrow -lnl|cos(v)r| = ln|x| + C
Reescrevendo,
ln1|cos(v)| = ln|x| + C Longrightarrow 1cos(v) = C',x Longrightarrow sec(v) = C',x,
onde C' = e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a v = y/x, a solução implícita é
boxedsec!l(tfracyxr) = C,x,
com C constante de integração.

Resposta

sec!l(tfracyxr) = C,x

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