Mostre que a transformada de Laplace
existe. [Sugestão: Comece integrando por partes.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace
existe para a função
O conteúdo principal aqui é testar a convergência da integral imprópria para
, usando integração por partes.
Passo 2
Observe que
Logo,
é a derivada de
. Defina
Passo 3
Escrevemos a integral da transformada como
Aplicando integração por partes com
,
, obtemos
Passo 4
Analisamos o termo de fronteira:
- Quando
, e para , logo . - Em
, .
Portanto,
e ficamos com
A integral restante
é absolutamente convergente para pois
e
.
é absolutamente convergente para
Resposta
A transformada de Laplace
existe para
.