Mostre que a transformada de Laplace L2 t e^r^2 cos e^t^2 existe. [Sugestão: Comece integrando por partes.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
existe para a função
f(t)=2t,e^t^2cosl(e^t^2r)
O conteúdo principal aqui é testar a convergência da integral imprópria para Re(s)>0, usando integração por partes.

Passo 2

Observe que
ddt,sinl(e^t^2r) =cosl(e^t^2r)cdotddtl(e^t^2r) =cosl(e^t^2r)cdot e^t^2cdot2t =f(t)
Logo, f(t) é a derivada de
sinl(e^t^2r). Defina
w(t)=sinl(e^t^2r), w'(t)=f(t)

Passo 3

Escrevemos a integral da transformada como
integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integral0^inftyw'(t),e^-st,dt
Aplicando integração por partes com
,u=w'(t), v=e^-st, obtemos
integral0^inftyw'(t)e^-st,dt =l[w(t)e^-str]0^infty +sintegral0^inftyw(t)e^-st,dt

Passo 4

Analisamos o termo de fronteira:
  • Quando ttoinfty, lvert w(t)rvert<=1 e e^-stto0 para Re(s)>0, logo w(t)e^-stto0.
  • Em t=0, w(0)=sinl(e^0r)=sin(1).
Portanto,
l[w(t)e^-str]0^infty =0-sin(1)=-sin(1),
e ficamos com
integral0^inftyf(t)e^-st,dt =-sin(1)+sintegral0^inftysinl(e^t^2r),e^-st,dt
A integral restante
integral0^inftysinl(e^t^2r)e^-st,dt
é absolutamente convergente para Re(s)>0 pois lvertsin(cdot)rvert<=1 e integral0^inftye^-stdt<infty.

Resposta

A transformada de Laplace
L2t,e^t^2cos(e^t^2) existe para Re(s)>0.

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