Explique porque não é possível determinar a carga e a massa de uma partícula carregada separadamente por meio de forças elétricas e magnéticas.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que não é possível determinar, separadamente, a carga e a massa de uma partícula carregada usando apenas forças elétricas e magnéticas.
Informações implícitas que podemos usar (sem resolver ainda):
- Pode-se aplicar campos elétricos
e magnéticos conhecidos à partícula. - Pode-se medir a velocidade
e a aceleração (ou desvios da trajetória) da partícula quando ela está sujeita a esses campos. - Não foram fornecidos valores numéricos; o problema é conceitual: mostrar por que dados esses tipos de forças não se obtém
e separadamente.
Passo 2
Escrevendo as forças elétricas e magnéticas que atuam numa partícula com carga
e velocidade
:
A força elétrica é
onde
é o campo elétrico (vetor) e
é a carga da partícula. Aqui
tem a mesma direção de
(se
) ou direção oposta (se
).
A força magnética (força de Lorentz devido ao campo magnético) é
onde
é o campo magnético. O produto vetorial dá direção perpendicular a
e
; a magnitude é
, com
o ângulo entre
e
.
Em ambas as expressões a carga
aparece multiplicando o campo.
Passo 3
Relacione isso com a segunda lei de Newton. A equação do movimento da partícula é
onde
é a massa e
é a aceleração.
Agora isolamos
:
Explanação didática: nessa equação toda a dependência da força elétrica e magnética sobre a carga aparece multiplicando os campos; quando dividimos por
para obter a aceleração medida, o que aparece no lado direito é apenas a razão
. Ou seja, todas as observáveis mecânicas (trajetória, aceleração, raio de curvatura, velocidade final num acelerador simples) dependem de
, não de
e
separadamente.
Passo 4
Mostre com exemplos simples como isso aparece em medições típicas.
Exemplo A — campo elétrico uniforme e partícula inicialmente em repouso: se
então
. Medindo
e sabendo
obtém-se
Não há maneira de extrair
e
separadamente dessa única equação.
Exemplo B — campo magnético perpendicular à velocidade (movimento circular): a força magnética fornece a força centrípeta,
Reescrevendo,
Mais uma vez a medição do raio
, velocidade
e campo
dá apenas
.
Observação clara: ambos os exemplos dão relações que contêm só a razão
. Mesmo combinar diferentes medidas feitas apenas com campos elétricos e magnéticos mantém você limitado a informações sobre essa razão.
Passo 5
Por que não se consegue contornar isso combinando vários experimentos E e B?
Se fizer um experimento com
e outro com
, ambos fornecem equações que, ao serem manipuladas, continuam envolvendo
. Por exemplo, a equação do movimento e a do raio circular são consistentes entre si e ambas determinam
. Não aparece nenhuma equação onde
apareça isoladamente sem multiplicar algum termo dependente da massa, nem onde
apareça isoladamente sem multiplicar algo dependente de
.
Portanto, com as forças elétricas e magnéticas exclusivamente, as incógnitas
e
entram sempre combinadas como produto/razão, tornando impossível separá-las sem uma equação adicional que ligue somente a
ou somente a
.
Passo 6
O que seria necessário para separar
e
?
Para determinar
e
separadamente é preciso uma medição adicional que envolva uma força que dependa de
mas não de
(ou vice‑versa). Exemplos:
- Força gravitacional:
depende só de . Combinando uma medida elétrica e a gravidade pode-se, em princípio, obter e separadamente (essa é a ideia por trás do experimento de Millikan, que combina equilíbrio elétrico, peso e forças de arrasto para extrair ). - Medida direta de massa por métodos não eletromagnéticos (p. ex. medir quantidade de matéria em macroscópico) permite conhecer
e então usar campos elétricos/magnéticos para obter .
Sem essa informação extra, campose só dão a razão .
Resposta
Porque as forças elétrica e magnética atuam proporcionalmente à carga
, a equação do movimento é
que pode ser escrita como
. Assim, medições com campos elétricos e magnéticos fornecem apenas a razão
, não
e
separadamente; para separar
e
é preciso uma medição adicional que dependa só de
(ou só de
), como a força gravitacional usada em experimentos do tipo Millikan.