1 QUESTÃO ( 3.00 pts) Uma sapata quadrada de 2 m de lado, com carga 600 k N sobre uma camada de areia seca média de 4 m de profundidade apoiada em uma camada de argila saturada de 3 m e depois uma camada em rocha. Da camada argila saturada foi retirado a amostra indeformada, no meio da camada, e realizado os ensaios de laboratório de andensamento que se encontra na tabela abaixo. Dados da areia: \nu=0.3, E_{s}=15000 k N / m^{2}, \gamma_{\text {areia }}=16 k N / m^{2}. Dados da argila : \gamma_{\text {argila }}^{\prime}=15 k N / m^{2}, e_{0}=1.215.
e k N / m^{2}
1.112 25
1.105 50
1.080 100
0.985 200
0.850 400
0.731 800
Pede-se: a) A pressão de pré-adensamento usando o método de Casagrande? b) O índice de compressão do ensaio de adensamento.c) O recalque total da fundação considerando que o adensamento por compressão secundária é zero.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os valores da tabela e do enunciado).
O que o enunciado pede:
  • (a) A pressão de pré-adensamento usando o método de Casagrande.
  • (b) O índice de compressão do ensaio de adensamento (índice de compressão primaria).
  • (c) O recalque total da fundação (adensamento primário; considerar compressão secundária zero).
Dados fornecidos:
  • Sapata quadrada: lado 2\\ \mathrm{m} (logo área A=2\times2=4\\ \mathrm{m}^2).
  • Carga na sapata: P=600\\ \mathrm{kN}.
  • Camadas: areia seca de espessura 4\\ \mathrm{m} sobre argila saturada de espessura 3\\ \mathrm{m}, abaixo rocha.
  • Amostra de argila retirada no meio da camada (ou seja, a 1{,}5\\ \mathrm{m} abaixo do topo da argila).
  • Ensaios consolidação (tabela: e versus p, onde p em \mathrm{kN/m^2}):
\begin{array}{|c|c|} \hline e & p\\ (\mathrm{kN/m^2})\\\ \hline 1{,}112 & 25\\\\ 1{,}105 & 50\\\\ 1{,}080 & 100\\\\ 0{,}985 & 200\\\\ 0{,}850 & 400\\\\ 0{,}731 & 800\\\ \hline \end{array}
  • Dados da areia: \nu=0{,}3,\\ E_s=15000\\ \mathrm{kN/m^2},\\ \gamma_{\text{areia}}=16\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Dados da argila: \gamma'_{\text{argila}}=15\\ \mathrm{kN/m^3},\\ e_0=1{,}215.
Observação: a resolução seguirá o procedimento clássico de Casagrande para estimar a pressão de pré-adensamento a partir da curva e versus \log_{10} p e, depois, o cálculo do recalque pela fórmula clássica de adensamento unidimensional usando o índice adequado (recompreensão ou compressão primária), avaliando se a solicitação produz ou não compressão virgem.

Passo 2

Preparar os dados para aplicar Casagrande: o método trabalha com gráfico de e versus \log_{10} p. Primeiro calculo \log_{10} p para cada pressão (valores arredondados a 6 casas decimais para precisão):
\begin{array}{c|c|c} p\\ (\mathrm{kN/m^2}) & \log_{10} p & e\\hline 25 & 1{,}397940 & 1{,}112\\\\ 50 & 1{,}698970 & 1{,}105\\\\ 100 & 2{,}000000 & 1{,}080\\\\ 200 & 2{,}301030 & 0{,}985\\\\ 400 & 2{,}602060 & 0{,}850\\\\ 800 & 2{,}903090 & 0{,}731 \end{array}
Breve explicação do método (didática curta): o procedimento gráfico de Casagrande identifica um ponto de curvatura máxima na curva e versus \log_{10} p, traça a tangente nesse ponto e determina, por construção geométrica, a pressão de pré-adensamento p_c. Numericamente, uma prática comum é aproximar a parte baixa da curva (recompressão) por uma reta e a parte ímpar (virgem) por outra reta e achar a interseção dessas retas em escala \log_{10} p. Vou fazer essa aproximação linear ajustando retas às porções inicial (baixas pressões) e final (altas pressões) da curva.

Passo 3

Ajuste da reta de recompressão (porção de baixas pressões). Uso os pontos p=25 e p=100 (são representativos da parte superior da curva). Faço regressão linear entre e e \log_{10} p por dois pontos (reta definida por dois pontos):
Cálculo do coeficiente angular da reta de recompressão b_r (em relação a \log_{10} p):
b_r=\frac{\Delta e}{\Delta \log_{10} p}=\frac{e(100)-e(25)}{\log_{10}100-\log_{10}25}=\frac{1{,}080-1{,}112}{2{,}000000-1{,}397940}=\frac{-0{,}032}{0{,}602060}=-0{,}053153.
Coeficiente linear a_r (usando o ponto p=25):
a_r=e- b_r\log_{10}p = 1{,}112 -(-0{,}053153)\cdot 1{,}397940 = 1{,}186286.
Logo a reta de recompressão é aproximadamente
e = a_r + b_r\log_{10} p = 1{,}186286 -0{,}053153\log_{10} p.

Passo 4

Ajuste da reta de compressão virgem (porção de altas pressões). Uso os pontos p=200 e p=800 (representativos da porção virgem).
Cálculo do coeficiente angular b_v:
b_v=\frac{e(800)-e(200)}{\log_{10}800-\log_{10}200}=\frac{0{,}731-0{,}985}{2{,}903090-2{,}301030}=\frac{-0{,}254}{0{,}602060}=-0{,}421973.
Coeficiente linear a_v (usando o ponto p=200):
a_v = 0{,}985 - b_v\cdot 2{,}301030 = 0{,}985 -(-0{,}421973)\cdot 2{,}301030 = 1{,}954960.
Portanto a reta virgem é aproximadamente
e = a_v + b_v\log_{10} p = 1{,}954960 -0{,}421973\log_{10} p.

Passo 5

Determinar a interseção das duas retas (em escala \log_{10} p). A interseção satisfaz
a_r + b_r\log_{10} p_c = a_v + b_v\log_{10} p_c.
Isolando \log_{10} p_c:
\log_{10} p_c = \frac{a_v - a_r}{b_r - b_v} = \frac{1{,}954960 - 1{,}186286}{-0{,}053153 -(-0{,}421973)} = \frac{0{,}768674}{0{,}368820} = 2{,}08501.
Então
p_c = 10^{\;2{,}08501} \approx 121{,}8\\ \mathrm{kN/m^2}.
Arredondando, a pressão de pré-adensamento estimada pelo método de Casagrande é aproximadamente p_c \approx 122\\ \mathrm{kN/m^2}.

Passo 6

Calcular os índices de compressão (definição e cálculo):
Definições:
  • Índice de compressão (virgem) C_c: é a variação absoluta do índice de vazios por década de pressão na porção virgem. Em termos da reta, C_c = -b_v (pois b_v é negativo).
  • Índice de recompressão C_r = -b_r.
Cálculos numéricos:
C_c = -b_v = 0{,}421973 \approx 0{,}422.
C_r = -b_r = 0{,}053153 \approx 0{,}0532.
Observação: a letra b_v e b_r tinham sinal negativo; por isso C_c e C_r ficam positivos.

Passo 7

Preparar o cálculo do recalque: primeiro obtenho a pressão aplicada na base do solo pela sapata.
Área da sapata A=4\\ \mathrm{m^2}. Pressão aplicada na base (uniforme) é
q=\frac{P}{A}=\frac{600\\ \mathrm{kN}}{4\\ \mathrm{m^2}}=150\\ \mathrm{kN/m^2}.
Vou calcular o recalque do conjunto de argila saturada de espessura H=3\\ \mathrm{m}, usando a fórmula clássica de adensamento (para compressão unidimensional):
S = \frac{C}{1+e_0}\; H \;\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_0 + \Delta\sigma'}{\sigma'_0}\right),
onde C será C_r se a nova tensão efetiva \sigma'_0+\Delta\sigma' ficar menor ou igual a p_c (recompressão), ou C_c se exceder p_c (compressão virgem). Então preciso calcular \sigma'_0 (tensão efetiva inicial no ponto médio da amostra) e \Delta\sigma' (incremento de tensão efetiva causado por q naquele ponto).

Passo 8

Cálculo da tensão efetiva inicial no ponto médio da camada de argila (profundidade medida a partir da superfície):
  • Profundidade do ponto médio da amostra: topo areia 4\\ \mathrm{m} + metade da argila 1{,}5\\ \mathrm{m} = z=5{,}5\\ \mathrm{m}.
  • A tensão efetiva inicial \sigma'_0 é soma dos pesos efetivos acima do ponto: a areia é seca (usar \gamma_{\text{areia}}=16\\ \mathrm{kN/m^3}) e para a porção de argila acima do ponto usamos \gamma'_{\text{argila}}=15\\ \mathrm{kN/m^3} (dado).
\sigma'_0 = \gamma_{\text{areia}}\cdot 4{,}0 + \gamma'_{\text{argila}}\cdot 1{,}5 = 16\cdot 4 + 15\cdot 1{,}5 = 64 + 22{,}5 = 86{,}5\\ \mathrm{kN/m^2}.

Passo 9

Cálculo do incremento de tensão \Delta\sigma' no ponto médio devido à carga da sapata.
Explicação do método escolhido (didática): idealmente usa-se solução de Boussinesq para área retangular; como procedimento prático e simples em prova sem tabela, usa-se a regra empírica 2:1 (cone de pressão com ângulo de 45°) para estimar a redução de tensão com a profundidade: a área do “bulbo” cresce linearmente de cada lado com 2z. Uma forma simples de aplicar esta ideia fornece uma aproximação numérica:
\Delta\sigma' \approx \frac{q}{\bigl(1+2z/B\bigr)^2},
onde B é o tamanho característico da pegada (para sapata quadrada B=2\\ \mathrm{m}) e z é a profundidade até o ponto (aqui z=5{,}5\\ \mathrm{m}). Isto é uma aproximação conservadora e simples para exame.
Cálculo numérico:
1+2z/B = 1 + \frac{2\cdot 5{,}5}{2} = 1 + 5{,}5 = 6{,}5.
\Delta\sigma' \approx \frac{150}{6{,}5^2} = \frac{150}{42{,}25} \approx 3{,}551\\ \mathrm{kN/m^2}.
Portanto \Delta\sigma' \approx 3{,}55\\ \mathrm{kN/m^2}.

Passo 10

Verificar se a solicitação provoca compressão virgem ou apenas recompressão:
\sigma'_0 + \Delta\sigma' = 86{,}5 + 3{,}551 = 90{,}051\\ \mathrm{kN/m^2}.
Como 90{,}05\\ \mathrm{kN/m^2} < p_c\\ (\approx 121{,}8\\ \mathrm{kN/m^2}), a tensão efetiva pós-carga ainda é inferior à pressão de pré-adensamento. Logo o solo trabalha na faixa de recompressão (não atinge a compressão virgem). Portanto devemos usar C_r no cálculo do recalque.

Passo 11

Cálculo do recalque usando C_r:
Fórmula:
S = \frac{C_r}{1+e_0}\; H \;\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_0 + \Delta\sigma'}{\sigma'_0}\right).
Substituindo valores (usar pontos decimais conforme calculado):
\frac{C_r}{1+e_0} = \frac{0{,}053153}{1 + 1{,}215} = \frac{0{,}053153}{2{,}215} = 0{,}023991.
H = 3\\ \mathrm{m}.
\log_{10}\!\left(\frac{90{,}051}{86{,}5}\right) = \log_{10}(1{,}04103) = 0{,}017442.
Então
S = 0{,}023991 \times 3 \times 0{,}017442 = 0{,}001255\\ \mathrm{m} \approx 1{,}26\\ \mathrm{mm}.
Portanto o recalque total por adensamento primário da camada de argila, sob as hipóteses adotadas e usando a aproximação 2:1 para \Delta\sigma', é aproximadamente 1{,}26\\ \mathrm{mm}.

Passo 12

Resumo final dos resultados calculados (valores arredondados de forma prática para prova):
  • Pressão de pré-adensamento p_c \approx 122\\ \mathrm{kN/m^2}.
  • Índice de compressão (virgem) C_c \approx 0{,}422. (índice de recompressão C_r \approx 0{,}0532)
  • Recalque total estimado S \approx 1{,}26\\ \mathrm{mm} (adensamento primário; compressão secundária desconsiderada).

Resposta

(a) p_c \approx 122\\ \mathrm{kN/m^2}
(b) C_c \approx 0{,}422 (e C_r \approx 0{,}0532)
(c) S \approx 1{,}26\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados