1 QUESTÃO ( 3.00 pts) Uma sapata quadrada de 2 m de lado, com carga
sobre uma camada de areia seca média de 4 m de profundidade apoiada em uma camada de argila saturada de 3 m e depois uma camada em rocha. Da camada argila saturada foi retirado a amostra indeformada, no meio da camada, e realizado os ensaios de laboratório de andensamento que se encontra na tabela abaixo. Dados da areia:
. Dados da argila :
.
1.112
25
1.105
50
1.080
100
0.985
200
0.850
400
0.731
800
Pede-se: a) A pressão de pré-adensamento usando o método de Casagrande? b) O índice de compressão do ensaio de adensamento.c) O recalque total da fundação considerando que o adensamento por compressão secundária é zero.
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| 1.112 | 25 |
| 1.105 | 50 |
| 1.080 | 100 |
| 0.985 | 200 |
| 0.850 | 400 |
| 0.731 | 800 |
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os valores da tabela e do enunciado).
O que o enunciado pede:
- (a) A pressão de pré-adensamento usando o método de Casagrande.
- (b) O índice de compressão do ensaio de adensamento (índice de compressão primaria).
- (c) O recalque total da fundação (adensamento primário; considerar compressão secundária zero).
Dados fornecidos:
- Sapata quadrada: lado
(logo área ). - Carga na sapata:
. - Camadas: areia seca de espessura
sobre argila saturada de espessura , abaixo rocha. - Amostra de argila retirada no meio da camada (ou seja, a
abaixo do topo da argila). - Ensaios consolidação (tabela:
versus , onde em ):
- Dados da areia:
- Dados da argila:
Observação: a resolução seguirá o procedimento clássico de Casagrande para estimar a pressão de pré-adensamento a partir da curva
versus
e, depois, o cálculo do recalque pela fórmula clássica de adensamento unidimensional usando o índice adequado (recompreensão ou compressão primária), avaliando se a solicitação produz ou não compressão virgem.
Passo 2
Preparar os dados para aplicar Casagrande: o método trabalha com gráfico de
versus
. Primeiro calculo
para cada pressão (valores arredondados a 6 casas decimais para precisão):
Breve explicação do método (didática curta): o procedimento gráfico de Casagrande identifica um ponto de curvatura máxima na curva
versus
, traça a tangente nesse ponto e determina, por construção geométrica, a pressão de pré-adensamento
. Numericamente, uma prática comum é aproximar a parte baixa da curva (recompressão) por uma reta e a parte ímpar (virgem) por outra reta e achar a interseção dessas retas em escala
. Vou fazer essa aproximação linear ajustando retas às porções inicial (baixas pressões) e final (altas pressões) da curva.
Passo 3
Ajuste da reta de recompressão (porção de baixas pressões). Uso os pontos
e
(são representativos da parte superior da curva). Faço regressão linear entre
e
por dois pontos (reta definida por dois pontos):
Cálculo do coeficiente angular da reta de recompressão
(em relação a
):
Coeficiente linear
(usando o ponto
):
Logo a reta de recompressão é aproximadamente
Passo 4
Ajuste da reta de compressão virgem (porção de altas pressões). Uso os pontos
e
(representativos da porção virgem).
Cálculo do coeficiente angular
:
Coeficiente linear
(usando o ponto
):
Portanto a reta virgem é aproximadamente
Passo 5
Determinar a interseção das duas retas (em escala
). A interseção satisfaz
Isolando
:
Então
Arredondando, a pressão de pré-adensamento estimada pelo método de Casagrande é aproximadamente
.
Passo 6
Calcular os índices de compressão (definição e cálculo):
Definições:
- Índice de compressão (virgem)
: é a variação absoluta do índice de vazios por década de pressão na porção virgem. Em termos da reta, (pois é negativo). - Índice de recompressão
.
Cálculos numéricos:
Observação: a letra
e
tinham sinal negativo; por isso
e
ficam positivos.
Passo 7
Preparar o cálculo do recalque: primeiro obtenho a pressão aplicada na base do solo pela sapata.
Área da sapata
. Pressão aplicada na base (uniforme) é
Vou calcular o recalque do conjunto de argila saturada de espessura
, usando a fórmula clássica de adensamento (para compressão unidimensional):
onde
será
se a nova tensão efetiva
ficar menor ou igual a
(recompressão), ou
se exceder
(compressão virgem). Então preciso calcular
(tensão efetiva inicial no ponto médio da amostra) e
(incremento de tensão efetiva causado por
naquele ponto).
Passo 8
Cálculo da tensão efetiva inicial no ponto médio da camada de argila (profundidade medida a partir da superfície):
- Profundidade do ponto médio da amostra: topo areia
+ metade da argila = . - A tensão efetiva inicial
é soma dos pesos efetivos acima do ponto: a areia é seca (usar ) e para a porção de argila acima do ponto usamos (dado).
Passo 9
Cálculo do incremento de tensão
no ponto médio devido à carga da sapata.
Explicação do método escolhido (didática): idealmente usa-se solução de Boussinesq para área retangular; como procedimento prático e simples em prova sem tabela, usa-se a regra empírica 2:1 (cone de pressão com ângulo de 45°) para estimar a redução de tensão com a profundidade: a área do “bulbo” cresce linearmente de cada lado com
. Uma forma simples de aplicar esta ideia fornece uma aproximação numérica:
onde
é o tamanho característico da pegada (para sapata quadrada
) e
é a profundidade até o ponto (aqui
). Isto é uma aproximação conservadora e simples para exame.
Cálculo numérico:
Portanto
.
Passo 10
Verificar se a solicitação provoca compressão virgem ou apenas recompressão:
Como
, a tensão efetiva pós-carga ainda é inferior à pressão de pré-adensamento. Logo o solo trabalha na faixa de recompressão (não atinge a compressão virgem). Portanto devemos usar
no cálculo do recalque.
Passo 11
Cálculo do recalque usando
:
Fórmula:
Substituindo valores (usar pontos decimais conforme calculado):
Então
Portanto o recalque total por adensamento primário da camada de argila, sob as hipóteses adotadas e usando a aproximação 2:1 para
, é aproximadamente
.
Passo 12
Resumo final dos resultados calculados (valores arredondados de forma prática para prova):
- Pressão de pré-adensamento
. - Índice de compressão (virgem)
. (índice de recompressão ) - Recalque total estimado
(adensamento primário; compressão secundária desconsiderada).
Resposta
(a)
(b)
(e
)
(c)