Lista de exercicios - Posição e deslocamento, velocidade média e instantânea
30) Um pósitron sofre um deslocamento
\Delta \vec{r}=(4,0) \hat{\imath}-(2,0) \hat{\jmath}+(5,0) \hat{k}
e termina com o vetor posição (em metros).
\vec{r}=(3,0) \hat{\imath}+(1,0) \hat{\jmath}-(2,0) \hat{k}
Qual era o vetor posição inicial do pósitron?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes vetores (em metros) e pede o vetor posição inicial:
  • Deslocamento:
\Delta \vec{r}=(4,0)\,\hat{\imath}-(2,0)\,\hat{\jmath}+(5,0)\,\hat{k}
  • Vetor posição final (termina com):
\vec{r}=(3,0)\,\hat{\imath}+(1,0)\,\hat{\jmath}-(2,0)\,\hat{k}
O que se pede: encontrar o vetor posição inicial do pósitron (ou seja, o vetor posição que ele tinha antes do deslocamento).

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo de um jeito prático):
O deslocamento relaciona posição final e posição inicial pela fórmula
\Delta \vec{r}=\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i},
onde:
  • \Delta \vec{r} é o vetor deslocamento (diferença entre posição final e inicial),
  • \vec{r}_{f} é a posição final (a do enunciado, a que chamamos de \vec{r}),
  • \vec{r}_{i} é a posição inicial (que queremos achar).
Isolando \vec{r}_{i} nessa equação obtemos a relação prática que usamos na prova:
\vec{r}_{i}=\vec{r}_{f}-\Delta \vec{r}.
Isso significa que para achar a posição inicial basta subtrair componente a componente o vetor deslocamento da posição final.

Passo 3

Aplicando a fórmula componente a componente. Vou escrever as componentes x,y,z de cada vetor:
  • Para a componente x (multiplicador de \hat{\imath}):
    x_i = x_f - \Delta x = 3,0 - 4,0 = -1,0.
  • Para a componente y (multiplicador de \hat{\jmath}):
    y_i = y_f - \Delta y = 1,0 - (-2,0) = 1,0 + 2,0 = 3,0.
  • Para a componente z (multiplicador de \hat{k}):
    z_i = z_f - \Delta z = -2,0 - 5,0 = -7,0.
Mostrando tudo junto, o vetor posição inicial é
\vec{r}_{i}=(-1,0)\,\hat{\imath}+(3,0)\,\hat{\jmath}+(-7,0)\,\hat{k}.

Passo 4

Cheque rápido (sempre bom fazer isto na prova para evitar erro de sinal):
Calcular \vec{r}_{i}+\Delta\vec{r} deve dar \vec{r}_{f}.
(-1,0)\,\hat{\imath}+(3,0)\,\hat{\jmath}+(-7,0)\,\hat{k} + (4,0)\,\hat{\imath}-(2,0)\,\hat{\jmath}+(5,0)\,\hat{k} = (3,0)\,\hat{\imath}+(1,0)\,\hat{\jmath}+(-2,0)\,\hat{k},
que coincide com o vetor posição final dado. Então o resultado está consistente.

Resposta

\vec{r}_{i}=(-1,0)\,\hat{\imath}+(3,0)\,\hat{\jmath}+(-7,0)\,\hat{k}

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