Explique porque os seguintes campos não são conservativos em
:
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que o campo vetorial dado não é conservativo em
.
Informações fornecidas:
- O campo vetorial é
com - O domínio considerado é todo
. - Objetivo: mostrar, com uma explicação passo a passo e didática, por que esse campo não tem potencial escalar (isto é, não é conservativo) em
.
Passo 2
O que significa “conservativo” e qual critério prático usar.
-
Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que ou seja,Isso implica independência de caminho para integrais de linha e que integrais fechadas valem zero. -
Em um domínio simplesmente conexo (como
), existe um teste simples e muito usado: um campo é conservativo se, e somente se, o rotacional (curl) de é o vetor nulo em todo o domínio. Assim, calcular é um caminho direto para verificar se pode ser gradiente de alguma função.
Passo 3
Fórmula do rotacional e como calcular cada componente.
- O rotacional de
é o vetor - Cada parcela é uma derivada parcial simples. Vou calcular cada uma explicitamente com as funções
dadas.
Passo 4
Cálculo da componente
do rotacional:
.
- Primeiro calcule
. Com , - Agora calcule
. Com , - Subtraindo,
Passo 5
Cálculo da componente
do rotacional:
.
- Primeiro calcule
. Com , - Agora calcule
. Com , - Subtraindo,
Passo 6
Cálculo da componente
do rotacional:
.
- Primeiro calcule
. Com , - Agora calcule
. Com , - Subtraindo,
Passo 7
Conclusão do cálculo do rotacional e interpretação.
- Juntando as componentes obtidas:
- Esse rotacional é, em geral, diferente do vetor nulo: ele só é nulo na superfície
, mas não é nulo em pontos com . - Como
é simplesmente conexo, o critério “ em todo o domínio” é necessário e suficiente para ser conservativo. Aqui , logo não é conservativo em .
Passo 8
(Argumento alternativo, curto, para intuição — opcional mas didático)
- Se existisse uma potencial
com , então integrando em obteríamos onde depende só de . - Diferenciando isso em
e comparando com daria - Isso implica
, que depende de . Mas não pode ter dependência em . Contradição. Logo não existe potencial .