Explique porque os seguintes campos não são conservativos em \mathbb{R}^{3} :
\vec{F}(x, y, z)=y^{2}\left(1+z^{4}\right) \hat{x}+2 x y z^{4} \hat{\jmath}+4 x y^{2} z^{3} \hat{k} \quad ;

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que o campo vetorial dado não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
Informações fornecidas:
  • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=P\,\hat{x}+Q\,\hat{\jmath}+R\,\hat{k} com P(x,y,z)=y^{2}\bigl(1+z^{4}\bigr),\qquad Q(x,y,z)=2xyz^{4},\qquad R(x,y,z)=4xy^{2}z^{3}.
  • O domínio considerado é todo \mathbb{R}^{3}.
  • Objetivo: mostrar, com uma explicação passo a passo e didática, por que esse campo não tem potencial escalar (isto é, não é conservativo) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa “conservativo” e qual critério prático usar.
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
    \vec{F}=\nabla\varphi,
    ou seja,
    P=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad Q=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\qquad R=\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
    Isso implica independência de caminho para integrais de linha e que integrais fechadas valem zero.
  • Em um domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^{3}), existe um teste simples e muito usado: um campo \vec{F} é conservativo se, e somente se, o rotacional (curl) de \vec{F} é o vetor nulo em todo o domínio. Assim, calcular \nabla\times\vec{F} é um caminho direto para verificar se \vec{F} pode ser gradiente de alguma função.

Passo 3

Fórmula do rotacional e como calcular cada componente.
  • O rotacional de \vec{F}=(P,Q,R) é o vetor \nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\hat{x}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{k}.
  • Cada parcela é uma derivada parcial simples. Vou calcular cada uma explicitamente com as funções P,Q,R dadas.

Passo 4

Cálculo da componente \hat{x} do rotacional: \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}.
  • Primeiro calcule \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}. Com R(x,y,z)=4x y^{2} z^{3}, \frac{\partial R}{\partial y}=4x\cdot 2y\cdot z^{3}=8x y z^{3}.
  • Agora calcule \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}. Com Q(x,y,z)=2x y z^{4}, \frac{\partial Q}{\partial z}=2x y\cdot 4z^{3}=8x y z^{3}.
  • Subtraindo, \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=8x y z^{3}-8x y z^{3}=0.

Passo 5

Cálculo da componente \hat{\jmath} do rotacional: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}.
  • Primeiro calcule \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}. Com P(x,y,z)=y^{2}(1+z^{4}), \frac{\partial P}{\partial z}=y^{2}\cdot 4z^{3}=4y^{2}z^{3}.
  • Agora calcule \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}. Com R(x,y,z)=4x y^{2} z^{3}, \frac{\partial R}{\partial x}=4y^{2}z^{3}.
  • Subtraindo, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=4y^{2}z^{3}-4y^{2}z^{3}=0.

Passo 6

Cálculo da componente \hat{k} do rotacional: \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
  • Primeiro calcule \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Com Q(x,y,z)=2x y z^{4}, \frac{\partial Q}{\partial x}=2y z^{4}.
  • Agora calcule \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Com P(x,y,z)=y^{2}(1+z^{4}), \frac{\partial P}{\partial y}=2y(1+z^{4})=2y+2y z^{4}.
  • Subtraindo, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2y z^{4}-(2y+2y z^{4})=-2y.

Passo 7

Conclusão do cálculo do rotacional e interpretação.
  • Juntando as componentes obtidas: \nabla\times\vec{F}=(0)\,\hat{x}+(0)\,\hat{\jmath}+(-2y)\,\hat{k}=-2y\,\hat{k}.
  • Esse rotacional é, em geral, diferente do vetor nulo: ele só é nulo na superfície y=0, mas não é nulo em pontos com y\neq 0.
  • Como \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, o critério “ \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo o domínio” é necessário e suficiente para \vec{F} ser conservativo. Aqui \nabla\times\vec{F}\not\equiv\vec{0}, logo \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.

Passo 8

(Argumento alternativo, curto, para intuição — opcional mas didático)
  • Se existisse uma potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}, então integrando P=\partial\varphi/\partial x em x obteríamos \varphi(x,y,z)=x\,y^{2}(1+z^{4})+g(y,z),onde g depende só de y,z.
  • Diferenciando isso em y e comparando com Q daria \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2xy(1+z^{4})+\frac{\partial g}{\partial y}\stackrel{!}{=}2xyz^{4}.
  • Isso implica \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=2xy z^{4}-2xy(1+z^{4})=-2xy, que depende de x. Mas g não pode ter dependência em x. Contradição. Logo não existe potencial \varphi.

Resposta

\nabla\times\vec{F}=-2y\,\hat{k}, portanto \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados