Explique como resolver as integrais abaixo, dependendo dos valores de m e n:
integral sen^m x cos ^n x d x

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a integral integral sin^m x cos^n x , dx e queremos saber como resolver essa integral dependendo dos valores de m e n. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno, e como usar substituições para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos analisar se os expoentes m e n são pares ou ímpares, porque a estratégia para resolver a integral muda com base nisso. Existem três casos principais:
  1. m é ímpar
  2. n é ímpar
  3. Ambos m e n são pares

Passo 3

Caso 1: m é ímpar
Quando m é ímpar, podemos separar uma potência de seno para usar uma substituição. Escrevemos sin^m x = sin^m-1 x cdot sin x. Então, utilizamos a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x para reescrever sin^m-1 x em termos de cosseno.
Depois disso, fazemos a substituição u = cos x, o que simplifica a integral para uma forma mais fácil de integrar em termos de u.

Passo 4

Caso 2: n é ímpar
Similar ao caso anterior, se n é ímpar, separamos uma potência de cosseno: cos^n x = cos^n-1 x cdot cos x. Usamos a identidade cos^2 x = 1 - sin^2 x para reescrever cos^n-1 x em termos de seno.
Em seguida, fazemos a substituição u = sin x, facilitando a integral em termos de u.

Passo 5

Caso 3: m e n são pares
Quando ambos os expoentes são pares, não temos potências ímpares para facilitar a substituição direta. Nessa situação, usamos as fórmulas de redução de potências ou identidades trigonométricas como a de dupla ângulo:
sin^2 x = 1 - cos 2x2 e cos^2 x = 1 + cos 2x2
Essas identidades nos permitem reescrever a integral em termos de funções de múltiplos ângulos, que são mais fáceis de integrar.

Resposta

Dependendo se m ou n são ímpares ou pares, a integral integral sin^m x cos^n x , dx pode ser resolvida separando uma potência ímpar para usar substituição ou aplicando identidades trigonométricas quando ambos os expoentes são pares. Assim, analisando a paridade de m e n, escolhemos a estratégia adequada para resolver a integral.

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