Explique como resolver as integrais abaixo, dependendo dos valores de m e n:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a integral
e queremos saber como resolver essa integral dependendo dos valores de m e n. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno, e como usar substituições para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos analisar se os expoentes m e n são pares ou ímpares, porque a estratégia para resolver a integral muda com base nisso. Existem três casos principais:
- m é ímpar
- n é ímpar
- Ambos m e n são pares
Passo 3
Caso 1: m é ímpar
Quando m é ímpar, podemos separar uma potência de seno para usar uma substituição. Escrevemos
. Então, utilizamos a identidade
para reescrever
em termos de cosseno.
Depois disso, fazemos a substituição
, o que simplifica a integral para uma forma mais fácil de integrar em termos de u.
Passo 4
Caso 2: n é ímpar
Similar ao caso anterior, se n é ímpar, separamos uma potência de cosseno:
. Usamos a identidade
para reescrever
em termos de seno.
Em seguida, fazemos a substituição
, facilitando a integral em termos de u.
Passo 5
Caso 3: m e n são pares
Quando ambos os expoentes são pares, não temos potências ímpares para facilitar a substituição direta. Nessa situação, usamos as fórmulas de redução de potências ou identidades trigonométricas como a de dupla ângulo:
Essas identidades nos permitem reescrever a integral em termos de funções de múltiplos ângulos, que são mais fáceis de integrar.
Resposta
Dependendo se m ou n são ímpares ou pares, a integral
pode ser resolvida separando uma potência ímpar para usar substituição ou aplicando identidades trigonométricas quando ambos os expoentes são pares. Assim, analisando a paridade de m e n, escolhemos a estratégia adequada para resolver a integral.