Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua respostas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a série
converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas na Matemática. Precisamos conhecer alguns testes de convergência, como o teste da série harmônica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observa que
no denominador pode ser substituído por uma nova variável. Vamos fazer
. Assim, quando
inicia em 2,
começa em 1.
Passo 3
Com essa substituição, a série fica:
. Isso porque
, então a soma agora começa em
.
Passo 4
Agora, percebemos que a série
é equivalente a
. A série
é conhecida como a série harmônica.
Passo 5
Sabemos que a série harmônica
é uma série que diverge, ou seja, não soma a um valor finito. Multiplicar por 2 não muda o fato de que a série continua divergente.
Resposta
A série
diverge.