Explique por que a seguinte integral é imprópria.
integral-infty^infty x^3 e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que a integral
integral-infty^infty x^3 e^-x^2 ,dx
é imprópria. O conteúdo é integras impróprias de primeira espécie (limites infinitos) e vamos precisar da definição de integral imprópria e de paridade de função.

Passo 2

Uma integral é dita imprópria de primeira espécie sempre que um ou ambos os limites de integração são infinitos. Aqui temos os limites −∞ e ∞, portanto a integral não pode ser avaliada diretamente como uma integral de Riemann usual.
Para tratar essa integral precisamos defini-la por limite. Escrevemos
integral-infty^infty x^3 e^-x^2 ,dx = limRtoinfty integral-R^R x^3 e^-x^2 ,dx
Isso mostra que estamos tomando o limite de integrais em intervalos finitos, caracterizando o caráter impróprio.

Passo 3

Observe que a função
f(x)=x^3e^-x^2
é ímpar, pois
f(-x)=(-x)^3e^-(-x)^2=-x^3e^-x^2=-f(x)
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico [−R,R], o resultado é zero para todo R finito.
Concluímos que a integral definida no limite existe (converge) e vale zero, mas é imprópria justamente porque envolve limites de integração infinitos.

Passo 4

Portanto, a integral é imprópria porque seus limites de integração são infinitos, exigindo um processo de limite para ser avaliada. Além disso, por simetria (função ímpar em intervalo simétrico), a integral converge para zero.

Resposta

A integral é imprópria porque possui limites de integração infinitos e só pode ser definida via limite. Além disso, como a função integranda é ímpar e o intervalo é simétrico, o valor da integral converge para zero.

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