Explique por que a seguinte integral é imprópria.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que a integral
é imprópria. O conteúdo é integras impróprias de primeira espécie (limites infinitos) e vamos precisar da definição de integral imprópria e de paridade de função.
Passo 2
Uma integral é dita imprópria de primeira espécie sempre que um ou ambos os limites de integração são infinitos. Aqui temos os limites −∞ e ∞, portanto a integral não pode ser avaliada diretamente como uma integral de Riemann usual.
Para tratar essa integral precisamos defini-la por limite. Escrevemos
Para tratar essa integral precisamos defini-la por limite. Escrevemos
Isso mostra que estamos tomando o limite de integrais em intervalos finitos, caracterizando o caráter impróprio.
Passo 3
Observe que a função
é ímpar, pois
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico [−R,R], o resultado é zero para todo R finito.
Concluímos que a integral definida no limite existe (converge) e vale zero, mas é imprópria justamente porque envolve limites de integração infinitos.
Concluímos que a integral definida no limite existe (converge) e vale zero, mas é imprópria justamente porque envolve limites de integração infinitos.
Passo 4
Portanto, a integral é imprópria porque seus limites de integração são infinitos, exigindo um processo de limite para ser avaliada. Além disso, por simetria (função ímpar em intervalo simétrico), a integral converge para zero.
Resposta
A integral é imprópria porque possui limites de integração infinitos e só pode ser definida via limite. Além disso, como a função integranda é ímpar e o intervalo é simétrico, o valor da integral converge para zero.