Questão 5 (gráfico MMEP)

Uma fábrica têxtil monitora a espessura de um tecido técnico, utilizando um gráfico MMEP com os seguintes parâmetros:
  • Média histórica (\mu)=2,0 \mathrm{~mm}
  • Desvio padrão (\sigma)=0,1 \mathrm{~mm}
  • Fator de suavização (\lambda)=0,1
  • Constante de controle \mathrm{L}=2,7
As medições diárias foram: [2.0, 2.02, 2.04, 2.05, 2.03, 2.06]
a) Calcule os valores de Zi para os 7 dias.
b) Há algum ponto fora de controle?

Passo 1

O enunciado fala de um gráfico MMEP (gráfico EWMA) para acompanhar a espessura de um tecido. Temos os parâmetros históricos
\mu=2{,}0, \sigma=0{,}1, \lambda=0{,}1 e L=2{,}7, e as medições diárias
x_1=2{,}0,\;x_2=2{,}02,\;x_3=2{,}04,\;x_4=2{,}05,\;x_5=2{,}03,\;x_6=2{,}06.
O objetivo é
a) calcular os valores Z_i ( i=0,···, 6) do EWMA;
b) verificar se algum Z_i está fora de controle.

Passo 2

Para um gráfico EWMA definimos
Z_0 = \mu,
Z_i = \lambda x_i + (1-\lambda)\,Z_{i-1},\quad i\ge1.
Os limites de controle no instante i são
UCL_i = \mu + L\,\sigma \sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}\bigl(1-(1-\lambda)^{2i}\bigr)},
LCL_i = \mu - L\,\sigma \sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}\bigl(1-(1-\lambda)^{2i}\bigr)}.

Passo 3

Calculando sequencialmente com \lambda=0{,}1 e Z_0=2{,}0:
Z_1 = 0{,}1\cdot2{,}0 + 0{,}9\cdot2{,}0 = 2{,}000
Z_2 = 0{,}1\cdot2{,}02 + 0{,}9\cdot2{,}000 = 2{,}002
Z_3 = 0{,}1\cdot2{,}04 + 0{,}9\cdot2{,}002 = 2{,}0058
Z_4 = 0{,}1\cdot2{,}05 + 0{,}9\cdot2{,}0058 = 2{,}0102
Z_5 = 0{,}1\cdot2{,}03 + 0{,}9\cdot2{,}0102 = 2{,}0122
Z_6 = 0{,}1\cdot2{,}06 + 0{,}9\cdot2{,}0122 = 2{,}0170

Passo 4

Para cada i calculamos numericamente
\sqrt{\tfrac{\lambda}{2-\lambda}(1-(1-\lambda)^{2i})} e obtemos, por exemplo,
UCL_6\approx2{,}0 + 2{,}7\cdot0{,}1\cdot0{,}1943 \approx 2{,}0524,\quad LCL_6\approx1{,}9476.
Em todos os instantes i=1,\dots,6 os valores Z_i estão entre LCL_i e UCL_i.

Resposta

a)
Z_0=2{,}000,\; Z_1=2{,}000,\; Z_2=2{,}002,\; Z_3=2{,}0058,\; Z_4=2{,}0102,\; Z_5=2{,}0122,\; Z_6=2{,}0170.
b) Não há nenhum ponto fora de controle.

Exercícios relacionados