Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4n}}.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o Teste da Comparação por Limite, comparando com a série harmônica \sum1/n.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Comparação por Limite, definimos
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4n}} \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac{1}{n}.
Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{n^{2}+4n}}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+4n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+4/n}} = 1.
Como 0 < L < \infty, ambas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. Pelo resultado do teste, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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