Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n^{11}-n^{7}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n^{11}-n^{7}+1}}
converge ou diverge. O termo geral é positivo e, para séries de termos positivos, podemos usar o teste da comparação ou o teste da série-p (p-série).

Passo 2

Para verificar o comportamento de a_n = 1/\sqrt[5]{n^{11}-n^{7}+1} quando n\to\infty, note que
n^{11}-n^{7}+1 \sim n^{11},
ou seja, para n grande o termo dominante é n^{11}. Assim
\sqrt[5]{n^{11}-n^{7}+1}\sim \sqrt[5]{n^{11}} = n^{11/5}.
Logo,
a_n \sim \frac{1}{n^{11/5}}.

Passo 3

Compare a_n com a p-série b_n = 1/n^{11/5}. Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt[5]{n^{11}-n^{7}+1}}{1/n^{11/5}} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n^{11}}{\,n^{11}-n^{7}+1}\Bigr)^{1/5} = 1.
Como esse limite é finito e não nulo, a_n e b_n têm o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{11/5}}
é uma p-série com p = 11/5 > 1, portanto converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n^{11}-n^{7}+1}}
converge por comparação à p-série de expoente 11/5>1.

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