Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
o que envolve testar se os termos formam uma série numérica convergente. O conteúdo usado será simplificação de fatoriais e soma telescópica.
Passo 2
Simplificamos o termo geral usando fatoriais:
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais de
:
Igualando numeradores obtemos
Para
dá
, e para
dá
, logo
e
. Portanto
Passo 4
Definimos a soma parcial até
:
Observe que a soma é telescópica, pois os termos intermediários cancelam:
Passo 5
Para concluir, tomamos o limite quando
:
Como esse limite é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e seu valor é
.