Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!},
o que envolve testar se os termos formam uma série numérica convergente. O conteúdo usado será simplificação de fatoriais e soma telescópica.

Passo 2

Simplificamos o termo geral usando fatoriais:
\frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}:
\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+2}.
Igualando numeradores obtemos
1 = A(n+2) + B(n+1).
Para n=-1 1 = A, e para n=-2 1 = -B, logo A=1 e B=-1. Portanto
\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}.

Passo 4

Definimos a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \Bigl(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\Bigr).
Observe que a soma é telescópica, pois os termos intermediários cancelam:
S_{N} = \Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Bigr) + \cdots + \Bigl(\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\Bigr) = \frac{1}{2} - \frac{1}{N+2}.

Passo 5

Para concluir, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{1}{2} - \frac{1}{N+2}\Bigr) = \frac{1}{2}.
Como esse limite é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e seu valor é \tfrac{1}{2}.

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