1. Explique o que significa dizer que dois vetores quaisquer do R^2, não paralelos, formam uma base do R^2.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que quaisquer dois vetores não paralelos de R^2 formam uma base de R^2. Vamos usar os conceitos de espaço vetorial, de base, de combinação linear, de sistema linear e de matriz invertível.

Passo 2

Dois vetores v=(v1,v2) e w=(w1,w2) não são paralelos exatamente quando não existe escalar lambda tal que v=lambda,w. Isso equivale a dizer que a única solução da combinação linear
a,v + b,w = 0
é a=b=0. Em outras palavras, v,w é um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 3

Em a dimensão é . Um fato fundamental de álgebra linear é que um conjunto de exatamente vetores linearmente independentes em gera todo o espaço, isto é, espalha . Concretamente, para qualquer podemos resolver o sistema
Como e não são paralelos, a matriz dos coeficientes tem determinante
logo a matriz é invertível e há solução única . Isso mostra que qualquer vetor é combinação linear de e , e que essa combinação é única.

Resposta

Dizer que dois vetores quaisquer de R^2, não paralelos, formam uma base de R^2 significa que eles são linearmente independentes (não há relação de múltiplo escalar) e que seu span é todo R^2 (qualquer vetor do plano pode ser escrito de forma única como combinação linear deles).

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