- Explique o que significa dizer que dois vetores quaisquer do
, não paralelos, formam uma base do
.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que quaisquer dois vetores não paralelos de
formam uma base de
. Vamos usar os conceitos de espaço vetorial, de base, de combinação linear, de sistema linear e de matriz invertível.
Passo 2
Dois vetores
e
não são paralelos exatamente quando não existe escalar
tal que
. Isso equivale a dizer que a única solução da combinação linear
é
. Em outras palavras,
é um conjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 3
Em
a dimensão é
. Um fato fundamental de álgebra linear é que um conjunto de exatamente
vetores linearmente independentes em
gera todo o espaço, isto é, espalha
. Concretamente, para qualquer
podemos resolver o sistema
Como
e
não são paralelos, a matriz dos coeficientes tem determinante
logo a matriz é invertível e há solução única
. Isso mostra que qualquer vetor
é combinação linear de
e
, e que essa combinação é única.
Resposta
Dizer que dois vetores quaisquer de
, não paralelos, formam uma base de
significa que eles são linearmente independentes (não há relação de múltiplo escalar) e que seu span é todo
(qualquer vetor do plano pode ser escrito de forma única como combinação linear deles).