1. Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2 . Sabe-se que 4 \% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 7% de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha.
    (a) Duas peças defeituosas?
    (b) Três ou mais peças defeituosas?

Passo 1

O enunciado diz que há duas máquinas misturando a produção: a máquina 1 gera o dobro de peças da máquina 2, e as taxas de defeito são de \,4\% na máquina 1 e \,7\% na máquina 2. Retiramos n=20 peças ao acaso e queremos (a) a probabilidade de exatamente 2 defeituosas e (b) a probabilidade de 3 ou mais defeituosas. Vamos usar probabilidade total para achar a taxa geral de defeito e depois modelo binomial para a amostra.

Passo 2

Como a máquina 1 produz o dobro da máquina 2, a fração de peças vindas da máquina 1 é
P(M_1)=\frac{2}{3},
e a fração da máquina 2 é
P(M_2)=\frac{1}{3}.

Passo 3

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é
p = P(\text{defeito}) = P(M_1)\cdot 0{,}04 + P(M_2)\cdot 0{,}07 = \frac{2}{3}\cdot 0{,}04 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}07 = 0{,}05.

Passo 4

Chamando X o número de peças defeituosas na amostra de n=20, temos
X \sim \mathrm{Binomial}(n=20,\;p=0{,}05).

Passo 5

Para (a), queremos
P(X=2)=\binom{20}{2}\,(0{,}05)^2\,(0{,}95)^{18}.

Passo 6

Para (b), queremos
P(X\ge3)=1 - P(X\le2) =1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].

Passo 7

Calculando as parcelas:
P(X=0)=(0{,}95)^{20},\quad P(X=1)=\binom{20}{1}(0{,}05)(0{,}95)^{19},
e já temos P(X=2) do passo anterior. Somando e subtraindo de 1 dá P(X\ge3).

Resposta

(a) P(X=2)=\binom{20}{2}\,(0{,}05)^2\,(0{,}95)^{18}\approx0{,}1884.
(b) P(X\ge3)=1 - \bigl[(0{,}95)^{20} + 20\cdot0{,}05\,(0{,}95)^{19} + \binom{20}{2}\,(0{,}05)^2\,(0{,}95)^{18}\bigr]\approx0{,}0744.

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