Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
g(t)=cos ^-1(e^t-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(t)=cos^-1l(e^t-1r)
e pede para mostrar que ela é contínua em todo número de seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, e também determinar esse domínio. O conteúdo principal é: continuidade de funções elementares (exponencial e constante), soma/diferença de funções contínuas, composição de funções contínuas e continuidade de funções inversas monotônicas.

Passo 2

Para achar o domínio de g, lembramos que cos^-1(x) só está definido para xin[-1,1]. Logo precisamos ter
-1 <= e^t-1 <= 1
Somando 1 em todas as partes, fica
0 <= e^t <= 2,
e como e^t>0 sempre, a desigualdade inferior já está satisfeita para todo t. A desigualdade superior e^t<=2 equivale a
t <= ln(2)
Portanto o domínio de g é
D = (-infty,ln(2)]

Passo 3

Pelo Teorema 4 sabemos que a função exponencial tmapsto e^t é contínua em R. A função constante -1 também é contínua. Então, pelo Teorema 5 (soma e diferença de funções contínuas),
h(t) = e^t - 1
é contínua em R.

Passo 4

Pelo Teorema 9, como a função cos(x) é contínua e estritamente monotônica em [0,pi] com imagem [-1,1], sua inversa cos^-1(x) é contínua em todo o intervalo [-1,1].

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema 7: a composição de funções contínuas é contínua. Temos
g(t) = cos^-1l(h(t)r)
onde h(t)=e^t-1 é contínua em R e cos^-1(x) é contínua em [-1,1]. Restrita ao domínio D=(-infty,ln(2)], h(t) assume valores em [-1,1], logo a composição g é contínua em todo D.

Resposta

O domínio de g é
(-infty,ln(2)],
e g é contínua em todo ponto desse intervalo.

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