Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que ela é contínua em todo número de seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, e também determinar esse domínio. O conteúdo principal é: continuidade de funções elementares (exponencial e constante), soma/diferença de funções contínuas, composição de funções contínuas e continuidade de funções inversas monotônicas.
Passo 2
Para achar o domínio de
, lembramos que
só está definido para
. Logo precisamos ter
Somando 1 em todas as partes, fica
e como
sempre, a desigualdade inferior já está satisfeita para todo
. A desigualdade superior
equivale a
Portanto o domínio de
é
Passo 3
Pelo Teorema 4 sabemos que a função exponencial
é contínua em
. A função constante
também é contínua. Então, pelo Teorema 5 (soma e diferença de funções contínuas),
é contínua em
.
Passo 4
Pelo Teorema 9, como a função
é contínua e estritamente monotônica em
com imagem
, sua inversa
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema 7: a composição de funções contínuas é contínua. Temos
onde
é contínua em
e
é contínua em
. Restrita ao domínio
,
assume valores em
, logo a composição
é contínua em todo
.
Resposta
O domínio de
é
e
é contínua em todo ponto desse intervalo.