Lista de Exercícios
integral sec ^2(x) e^3-2 tan ^3(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral integral sec^2(x) e^3 - 2 tan^3(x) dx. Esse exercício está relacionado com cálculo integral, especificamente com substituição. Vamos precisar usar a regra de substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável u para facilitar o cálculo. Observamos que a derivada de tan(x) é sec^2(x) , o que aparece na nossa integral. Então, vamos deixar:
u = tan(x)
Dessa forma, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec^2(x)
Ou seja:
du = sec^2(x) dx

Passo 3

Agora, substituímos tan(x) por u na integral. A expressão original fica:
integral sec^2(x) e^3 - 2 tan^3(x) dx = integral e^3 - 2 u^3 du
Simplificamos a integral para uma forma mais simples envolvendo apenas u .

Passo 4

A próxima etapa é tentar resolver a integral integral e^3 - 2 u^3 du . No entanto, essa integral não tem uma solução que possa ser expressa em termos de funções elementares (como polinômios, exponenciais, logaritmos, trigonométricas etc.).

Passo 5

Quando uma integral não pode ser resolvida com funções conhecidas, a gente pode deixá-la expressa dessa forma ou usar funções especiais, como a função integral exponencial. Mas, para esse exercício, vamos deixar a resposta na forma da integral indefinida.

Resposta

A integral integral sec^2(x) e^3 - 2 tan^3(x) dx não pode ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução fica:
integral sec^2(x) e^3 - 2 tan^3(x) dx = integral e^3 - 2 u^3 du + C
onde u = tan(x) e C é a constante de integração.

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