Lista de Exercícios
integral csc ^3(x) cot (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral integral csc^3(x) cot(x) , dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para csc^3(x) cot(x), percebemos que se a gente deixar u = csc(x), a derivada de u vai aparecer na integral. Então, vamos definir:
u = csc(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x. Sabemos que:
dudx = -csc(x) cot(x)
Isso significa que:
du = -csc(x) cot(x) , dx

Passo 4

Olha só, na nossa integral original temos csc^3(x) cot(x) , dx. Vamos reorganizar isso para usar a substituição:
csc^3(x) cot(x) , dx = csc^2(x) cdot csc(x) cot(x) , dx
Lembrando que u = csc(x) e du = -csc(x) cot(x) , dx, podemos substituir:
csc^3(x) cot(x) , dx = csc^2(x) cdot (-du)

Passo 5

Agora, a integral fica em termos de u:
integral csc^3(x) cot(x) , dx = -integral csc^2(x) , du
Mas como u = csc(x), temos que csc^2(x) = u^2. Então:
- integral u^2 , du

Passo 6

Vamos integrar u^2:
- integral u^2 , du = -u^33 + C
Substituindo de volta u = csc(x):
-csc^3(x)3 + C

Resposta

integral csc^3(x) cot(x) , dx = -csc^3(x)3 + C

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