Utilize triplas integrais em coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado pelo parabolóide circular z=x^2+y^2 e o plano z=4 é 8 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelo parabolóide circular z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 4. Vamos usar triplas integrais em coordenadas cilíndricas, onde
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dz,dr,dtheta
Precisamos determinar os limites de integração para r, theta e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a superfície z = x^2 + y^2 vira z = r^2, e o plano continua z = 4. A projeção no plano xy é o círculo r^2 <= 4, ou seja
0 <= r <= 2,
enquanto
0 <= theta <= 2pi
e para cada (r,theta) temos
r^2 <= z <= 4

Passo 3

Com isso, o volume do sólido é dado pela integral
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 integralz=r^2^4 r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralz=r^2^4 r,dz = r,[,z,]r^2^4 = r,(4 - r^2)
Em seguida integramos em r:
integral0^2 r,(4 - r^2),dr = integral0^2 (4r - r^3),dr = l[2r^2 - tfracr^44r]0^2 = 8 - 4 = 4

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 4,dtheta = 4 times 2pi = 8pi

Resposta

O volume do sólido é 8pi.

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