QUESTÃO 04 : (6 pontos)
Resolva a inequação
.
Resolva a inequação
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Enunciado: resolver a inequação
. - O que pede: encontrar todos os
que tornam essa expressão estritamente positiva. - Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Aparece uma raiz quadrada
, o que impõe uma condição de domínio: o radicando deve ser não negativo. - Aparece a função exponencial
. - Aparece
(arctangente de ) no denominador, então é preciso cuidar de pontos onde o denominador seja zero ou mude de sinal.
- Aparece uma raiz quadrada
- Observação: não inicio a resolução aqui, apenas enumerei o que está dado e o que é pedido.
Passo 2
Determinar as restrições de domínio vindas da raiz quadrada.
- A expressão
está bem definida em todos os reais se e somente se o radicando for não negativo. - Portanto requeremos
, ou seja
- Conclusão parcial: só podemos considerar
com . Valores com tornam a expressão não real (no contexto real), então ficam excluídos.
Passo 3
Verificar restrições vindas do denominador
.
- A função
(arctan de ) está definida para todo , portanto não impõe restrição de existência além de que não podemos dividir por zero. - Precisamos garantir
. Onde isso ocorre? - Sabemos que
e que é estritamente crescente (propriedade conhecida da função arctan). - Portanto o único ponto em que
é . - Conclusão parcial: devemos excluir
(mesmo que ).
Passo 4
Analisar o numerador
quanto ao seu sinal.
- Teorema/fato importante: para qualquer número real
, . A função exponencial é sempre positiva, nunca zero nem negativa. - No nosso caso o expoente é
, que é um número real sempre que (pois então é real e o polinômio é real). - Logo, para todo
o numerador é estritamente positivo:
Passo 5
Reduzir a inequação usando o sinal conhecido do numerador.
- Temos uma fração
e já sabemos que o numerador é sempre positivo quando existe (isto é, quando ). - Para que uma fração com numerador positivo seja
, é necessário e suficiente que o denominador seja positivo. - Portanto a inequação
equivale (no domínio onde a expressão existe) à condição
Passo 6
Resolver
.
- Propriedades úteis da função
: - É estritamente crescente em
. - É ímpar:
. - Tem
.
- É estritamente crescente em
- Como é crescente e
, segue que se, e somente se, . - Logo a condição obtida no passo anterior se traduz simplesmente em
.
Passo 7
Combinar todas as condições (domínio e sinal) para obter a solução final.
- Condições reunidas:
- Do domínio da raiz:
. - Do denominador não nulo:
. - Da inequação reduzida:
.
- Do domínio da raiz:
- Juntando (2) e (3) vemos que
já exclui , então (2) fica implícito. - Unindo com (1): precisamos de
e simultaneamente, ou seja
- Em notação de intervalo:
.
Passo 8
Verificações rápidas por amostragem (sanity check) e interpretação intuitiva.
- Exemplo para checar:
pertence a . Então e o numerador . A fração é positiva — faz sentido. - Exemplo fora da solução:
. Aqui e numerador , então a fração seria negativa — portanto não satisfaz a inequação. - Ponto limite
: e numerador ; . Assim satisfaz a inequação, justificando que o fechamento no é correto. - Ponto
: proibido porque e não se pode dividir por zero. Por isso o intervalo é aberto em .