QUESTÃO 04 : (6 pontos)
Resolva a inequação \frac{e^{\sqrt{10-x} \cdot\left(x^{2}-4 x-5\right)}}{\operatorname{arctg} x}>0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Enunciado: resolver a inequação \dfrac{e^{\sqrt{10-x}\,\left(x^{2}-4x-5\right)}}{\operatorname{arctg} x}>0.
  • O que pede: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam essa expressão estritamente positiva.
  • Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
    • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{10-x}, o que impõe uma condição de domínio: o radicando deve ser não negativo.
    • Aparece a função exponencial e^{(\cdot)}.
    • Aparece \operatorname{arctg} x (arctangente de x) no denominador, então é preciso cuidar de pontos onde o denominador seja zero ou mude de sinal.
  • Observação: não inicio a resolução aqui, apenas enumerei o que está dado e o que é pedido.

Passo 2

Determinar as restrições de domínio vindas da raiz quadrada.
  • A expressão \sqrt{10-x} está bem definida em todos os reais se e somente se o radicando for não negativo.
  • Portanto requeremos \,10-x\ge 0, ou seja
x\le 10.
  • Conclusão parcial: só podemos considerar x com x\le 10. Valores com x>10 tornam a expressão não real (no contexto real), então ficam excluídos.

Passo 3

Verificar restrições vindas do denominador \operatorname{arctg} x.
  • A função \operatorname{arctg} x (arctan de x) está definida para todo x\in\mathbb{R}, portanto não impõe restrição de existência além de que não podemos dividir por zero.
  • Precisamos garantir \operatorname{arctg} x\neq 0. Onde isso ocorre?
  • Sabemos que \operatorname{arctg}0=0 e que \operatorname{arctg} x é estritamente crescente (propriedade conhecida da função arctan).
  • Portanto o único ponto em que \operatorname{arctg} x=0 é x=0.
  • Conclusão parcial: devemos excluir x=0 (mesmo que 0\le10).

Passo 4

Analisar o numerador e^{\sqrt{10-x}\,\left(x^{2}-4x-5\right)} quanto ao seu sinal.
  • Teorema/fato importante: para qualquer número real y, e^{y}>0. A função exponencial é sempre positiva, nunca zero nem negativa.
  • No nosso caso o expoente é \sqrt{10-x}\,\left(x^{2}-4x-5\right), que é um número real sempre que x\le 10 (pois então \sqrt{10-x} é real e o polinômio é real).
  • Logo, para todo x\le 10 o numerador é estritamente positivo:
e^{\sqrt{10-x}\,\left(x^{2}-4x-5\right)}>0.

Passo 5

Reduzir a inequação usando o sinal conhecido do numerador.
  • Temos uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\operatorname{arctg} x} e já sabemos que o numerador é sempre positivo quando existe (isto é, quando x\le 10).
  • Para que uma fração com numerador positivo seja >0, é necessário e suficiente que o denominador seja positivo.
  • Portanto a inequação \dfrac{e^{\sqrt{10-x}\,(x^{2}-4x-5)}}{\operatorname{arctg} x}>0 equivale (no domínio onde a expressão existe) à condição
\operatorname{arctg} x>0.

Passo 6

Resolver \operatorname{arctg} x>0.
  • Propriedades úteis da função \operatorname{arctg} x:
    • É estritamente crescente em \mathbb{R}.
    • É ímpar: \operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg} x.
    • Tem \operatorname{arctg}0=0.
  • Como é crescente e \operatorname{arctg}0=0, segue que \operatorname{arctg} x>0 se, e somente se, x>0.
  • Logo a condição obtida no passo anterior se traduz simplesmente em x>0.

Passo 7

Combinar todas as condições (domínio e sinal) para obter a solução final.
  • Condições reunidas:
    1. Do domínio da raiz: x\le 10.
    2. Do denominador não nulo: x\neq 0.
    3. Da inequação reduzida: x>0.
  • Juntando (2) e (3) vemos que x>0 já exclui x=0, então (2) fica implícito.
  • Unindo com (1): precisamos de x>0 e x\le 10 simultaneamente, ou seja
0<x\le 10.
  • Em notação de intervalo: (0,10].

Passo 8

Verificações rápidas por amostragem (sanity check) e interpretação intuitiva.
  • Exemplo para checar: x=1 pertence a (0,10]. Então \operatorname{arctg}1=\pi/4>0 e o numerador e^{\sqrt{9}\,(1-4-5)}=e^{3\cdot(-8)}=e^{-24}>0. A fração é positiva — faz sentido.
  • Exemplo fora da solução: x=-1. Aqui \operatorname{arctg}(-1)=-\pi/4<0 e numerador >0, então a fração seria negativa — portanto não satisfaz a inequação.
  • Ponto limite x=10: \sqrt{10-10}=0 e numerador e^{0}=1>0; \operatorname{arctg}10>0. Assim x=10 satisfaz a inequação, justificando que o fechamento no 10 é correto.
  • Ponto x=0: proibido porque \operatorname{arctg}0=0 e não se pode dividir por zero. Por isso o intervalo é aberto em 0.

Resposta

(0,10]

Exercícios relacionados