Explique como você encontraria uma solução de cada uma das EDOs abaixo.
4 y^prime+x y=cos (x)

Passo 1

O enunciado fornece a EDO linear de primeira ordem
4y' + x,y = cos x
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias lineares de 1º ordem e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão y' + p(x)y = q(x) dividindo tudo por 4:
y' + x4y = cos x4

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) pelo esquema
mu(x) = e^integral p(x),dx
onde p(x)=tfracx4. Assim
mu(x) = e^integral x4,dx = e^x^28

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto e o direito fica multiplicado por mu:
e^x^28y' + x4e^x^28y = ddxl(e^x^28yr),
ddxl(e^x^28yr) = e^x^28cos x4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x, obtendo
e^x^28y = integral e^x^28cos x4,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y para a forma final da solução geral:
y(x) = e^-x^28gl(14integral^x e^t^28cos t,dt + Cgr)

Resposta

y(x) = e^-x^28gl(14integral^x e^t^28cos t,dt + Cgr),
onde C é a constante de integração.

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