Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime+9 y=5 cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + 9y = 5cos(3x)
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y'' + 9y = 0
o polinômio característico é r^2 + 9 = 0, com raízes r = pm 3i. Logo a solução complementar é
yh(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não homogênea 5cos(3x), o chute usual seria Acos(3x)+Bsin(3x), mas como isso coincide com a homogênea, multiplicamos por x. Assim, assumimos
yp(x) = xl(Acos(3x)+Bsin(3x)r)
Calculando yp' e yp'', substituindo em y''+9y=5cos(3x) e igualando coeficientes de cos(3x) e sin(3x), obtemos
A = 0, B = 56
Portanto
yp(x) = 56,xsin(3x)

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da complementar yh e da particular yp.

Resposta

y(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + 56,xsin(3x)

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