Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-2 y^prime+y=x^3+e^2 x

Passo 1

Temos a equação diferencial não-homogênea
y'' - 2y' + y = x^3 + e^2x
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar. Primeiro vamos achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para cada termo não-homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' + y = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
Note que isso é (r - 1)^2 = 0, logo temos raiz dupla r=1. Portanto a solução geral homogênea é
yh = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular
Calculamos as derivadas:
Substituindo em :
Agrupando coeficientes de e igualando a , , , , obtemos o sistema:
Dessa forma , , . Logo

Passo 4

Para o termo exponencial e^2x, chutamos
yp2 = K e^2x
Derivadas:
yp2' = 2K e^2x, yp2'' = 4K e^2x
Substituindo em y'' - 2y' + y = e^2x:
(4K - 4K + K)e^2x = K e^2x = e^2x ;Longrightarrow;K = 1
Logo
yp2 = e^2x

Passo 5

Pela linearidade, a solução particular total é
yp = yp1 + yp2 = x^3 + 6x^2 + 18x + 24 + e^2x
Assim a solução geral da equação é
y = yh + yp = C1 e^x + C2 x e^x + x^3 + 6x^2 + 18x + 24 + e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + x^3 + 6x^2 + 18x + 24 + e^2x

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