Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
y^prime prime-10 y^prime+25 y=0, y^prime(0)=1, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10y' + 25y = 0
sujeita às condições y'(0)=1 e y(1)=0. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Montamos o polinômio característico associando y=e^rx:
r^2 - 10r + 25 = 0
Calculamos as raízes:
r = 10 pm raiz(-10)^2 - 4cdot1cdot252 = 10 pm 02 = 5
Como a raiz r=5 é dupla, o caso é de solução com multiplicidade 2.

Passo 3

Para raiz dupla r=5, a solução geral é
y(x) = C1 e^5x + C2,x,e^5x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada y' para aplicar a condição y'(0)=1. Usando produto e exponencial:
y'(x) = C1cdot5e^5x + C2l(e^5x + 5x,e^5xr) = e^5xl(5C1 + C2 + 5C2 xr)

Passo 5

Impondo y'(0)=1 e y(1)=0:
  1. Em x=0:
y'(0) = e^0(5C1 + C2) = 5C1 + C2 = 1
  1. Em x=1:
y(1) = C1 e^5 + C2cdot1cdot e^5 = e^5(C1 + C2) = 0 Longrightarrow C1 + C2 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema
5C1 + C2 = 1, C1 + C2 = 0,
subtrai-se a segunda da primeira:
(5C1 + C2) - (C1 + C2) = 1 - 0 ;Longrightarrow;4C1 = 1 ;Longrightarrow;C1 = tfrac14,
e então C2 = -C1 = -tfrac14.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = e^5x4,(1 - x)

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