Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições
e
. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Montamos o polinômio característico associando
:
Calculamos as raízes:
Como a raiz
é dupla, o caso é de solução com multiplicidade 2.
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos a derivada
para aplicar a condição
. Usando produto e exponencial:
Passo 5
Impondo
e
:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Resolvendo o sistema
subtrai-se a segunda da primeira:
e então
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é