Explique como você encontraria uma solução de cada uma das EDOs abaixo.
y^prime-x y=cos (x) y^2

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial
y' - x,y = cos(x),y^2
Isso é uma equação de Bernoulli da forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
com P(x) = -x, Q(x)=cos(x) e n=2. Para resolver, vamos usar a substituição que transforma essa EDO numa equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Em uma Bernoulli com expoente nneq0,1, faz-se a troca
u = y^1-n = y^-1
Então y = u^-1 e
y' = -u^-2,u'
Substituindo em ,y' - x,y = cos(x),y^2:
-,u^-2,u' ;-; x,u^-1 ;=;cos(x),u^-2
Multiplicando tudo por -u^2 obtém-se
u' + x,u = -cos(x),
uma equação linear para u(x).

Passo 3

A equação linear é
u' + x,u = -cos(x)
O fator integrante é
mu(x) = e^integral x,dx = e^tfracx^22
Multiplicando por mu(x) e integrando,
ddxl(u,e^tfracx^22r) = -cos(x),e^tfracx^22 Longrightarrow u,e^tfracx^22 = -integral cos(x),e^tfracx^22,dx + C

Passo 4

Isolando u e voltando a y=1/u,
u(x) = e^-tfracx^22l(-!!integral cos(x),e^tfracx^22dx + Cr),
y(x) = 1u(x) = e^tfracx^22,C ;-;integral cos(x),e^tfracx^22,dx,

Resposta

y(x)=e^tfracx^22C-integral cos(x),e^tfracx^22,dx,
onde C é constante arbitrária.

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