(2 pts) Seja f(x, y)=x^210-y^29
(a) Determine o gradiente de f em R=(4,3).
(b) Utilize o gradiente para calcular a derivada direcional de R na direção de R para Q=(5,6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo de gradiente e derivada direcional em funções de duas variáveis. Precisamos entender como encontrar o gradiente da função dada no ponto específico e, em seguida, usar esse gradiente para calcular a derivada direcional na direção de um outro ponto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y . Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Dada a função:
f(x, y) = x^210 - y^29
Vamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 2x10 = x5
Calculando a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = -2y9

Passo 4

Agora, o gradiente nabla f é o vetor formado por essas derivadas parciais:
nabla f(x, y) = ( x5, -2y9 )
Vamos calcular o gradiente no ponto R = (4, 3) .
Substituindo x = 4 e y = 3 :
nabla f(4, 3) = ( 45, -2 times 39 ) = ( 45, -69 ) = ( 45, -23 )

Passo 5

Agora, para calcular a derivada direcional, precisamos de um vetor de direção. A direção é dada pelo vetor que vai de R = (4, 3) para Q = (5, 6) .
Primeiro, encontramos o vetor RQ :
RQ = Q - R = (5 - 4, 6 - 3) = (1, 3)
Vamos transformar esse vetor em um vetor unitário (de magnitude 1), pois a derivada direcional usa a direção sem considerar o comprimento.
Calculando a magnitude de RQ :
||RQ|| = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10
Então, o vetor unitário u é:
u = ( 1raiz10, 3raiz10 )

Passo 6

A derivada direcional Duf é o produto escalar do gradiente nabla f(4, 3) com o vetor unitário u :
Duf = nabla f(4, 3) cdot u = ( 45, -23 ) cdot ( 1raiz10, 3raiz10 )
Calculando o produto escalar:
Duf = 45 times 1raiz10 + ( -23 ) times 3raiz10
Duf = 45raiz10 - 63raiz10
Duf = 45raiz10 - 2raiz10
Duf = 4 - 105raiz10
Duf = -65raiz10

Resposta

A derivada direcional de f no ponto R = (4, 3) na direção de Q = (5, 6) é:
Duf = -65raiz10

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