Seja
(a) Determine o gradiente de
em
.
(b) Utilize o gradiente para calcular a derivada direcional de
na direção de
para
(a) Determine o gradiente de
(b) Utilize o gradiente para calcular a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo de gradiente e derivada direcional em funções de duas variáveis. Precisamos entender como encontrar o gradiente da função dada no ponto específico e, em seguida, usar esse gradiente para calcular a derivada direcional na direção de um outro ponto. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Dada a função:
Vamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, o gradiente
é o vetor formado por essas derivadas parciais:
Vamos calcular o gradiente no ponto
.
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, para calcular a derivada direcional, precisamos de um vetor de direção. A direção é dada pelo vetor que vai de
para
.
Primeiro, encontramos o vetor
:
Vamos transformar esse vetor em um vetor unitário (de magnitude 1), pois a derivada direcional usa a direção sem considerar o comprimento.
Calculando a magnitude de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é: