(2 pts) Encontre o comprimento do arco de uma hélice depois de completar uma volta inteira, sabendo que a parametrização da curva está dada por
r(t)=a cos t i+a sin t j+raiz1-a^2 t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco de uma hélice após dar uma volta completa. A hélice é descrita pela parametrização:
r(t) = a cos t i + a sin t j + raiz1 - a^2, t k
Esse problema envolve cálculo de arc length (comprimento de arco) de curvas paramétricas. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento do arco para curvas em parametrização vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por r(t) de t = a a t = b:
L = integrala^b |r'(t)| , dt
Ou seja, a gente precisa encontrar a derivada da função r(t) em relação a t, calcular a norma dessa derivada, e então integrar isso no intervalo desejado.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada r'(t). Diferenciando cada componente de r(t) em relação a t:
r'(t) = ddt[a cos t] i + ddt[a sin t] j + ddt[raiz1 - a^2, t] k
Calculando cada derivada:
r'(t) = -a sin t i + a cos t j + raiz1 - a^2 k

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de r'(t):
|r'(t)| = raiz(-a sin t)^2 + (a cos t)^2 + (raiz1 - a^2)^2
Simplificando cada termo dentro da raiz:
|r'(t)| = raiza^2 sin^2 t + a^2 cos^2 t + (1 - a^2)

Passo 5

Vamos fatorar o a^2 nos dois primeiros termos:
|r'(t)| = raiza^2 (sin^2 t + cos^2 t) + (1 - a^2)
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
|r'(t)| = raiza^2 cdot 1 + (1 - a^2) = raiza^2 + 1 - a^2 = raiz1 = 1

Passo 6

Com a norma sendo 1, o comprimento do arco fica bem mais fácil de calcular:
L = integral0^2pi 1 , dt = 2pi
Aqui, consideramos que uma volta completa na hélice corresponde a t indo de 0 a 2pi.

Resposta

O comprimento do arco da hélice após uma volta completa é 2pi.

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