(2 pts) Encontre o comprimento do arco de uma hélice depois de completar uma volta inteira, sabendo que a parametrização da curva está dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco de uma hélice após dar uma volta completa. A hélice é descrita pela parametrização:
Esse problema envolve cálculo de arc length (comprimento de arco) de curvas paramétricas. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento do arco para curvas em parametrização vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por
de
a
:
Ou seja, a gente precisa encontrar a derivada da função
em relação a
, calcular a norma dessa derivada, e então integrar isso no intervalo desejado.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada
. Diferenciando cada componente de
em relação a
:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
Simplificando cada termo dentro da raiz:
Passo 5
Vamos fatorar o
nos dois primeiros termos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Com a norma sendo 1, o comprimento do arco fica bem mais fácil de calcular:
Aqui, consideramos que uma volta completa na hélice corresponde a
indo de
a
.
Resposta
O comprimento do arco da hélice após uma volta completa é
.