Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y=0, y^prime(0)=0, y(pi)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 4y = 0
sujeita às condições de contorno y'(0)=0 e y(pi)=0. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelos contornos.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
m^2 + 4 = 0
As raízes são complexas conjugadas:
m = pm 2,i
Logo a solução geral é
y(x) = A cos(2x) + B sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = -2A sin(2x) + 2B cos(2x)
Aplicando a condição y'(0)=0, obtemos
y'(0) = -2Acdot 0 + 2Bcdot 1 = 2B = 0 ;;Longrightarrow;; B = 0

Passo 4

Com B=0, a solução reduz-se a
y(x) = A cos(2x)
Agora impomos y(pi)=0:
y(pi) = A cos(2pi) = A cdot 1 = 0 ;;Longrightarrow;; A = 0

Resposta

A única solução que satisfaz ambas as condições é
y(x) = 0

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