Explique como você encontraria uma solução de cada uma das EDOs abaixo.
x y y^prime+4 x^2+y^2=0, x>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x,y,dydx + 4x^2 + y^2 = 0, x>0,
que é uma equação cujos termos todos têm grau homogêneo 2 em x e y. Vamos usar a substituição de variável y = v x para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Fazendo y = v x com v=v(x), temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em x,y,tfracdydx+y^2+4x^2=0
x,(v x),l(v + x,v'r) + (v x)^2 + 4x^2 = 0

Passo 3

Expandindo e simplificando cada termo:
v^2 x^2 + v' v,x^3 + v^2 x^2 + 4x^2 = 0 ;Longrightarrow; v' v,x^3 + 2v^2 x^2 + 4x^2 = 0
Dividindo por x^2 (pois x>0) obtém-se
v' v,x + 2v^2 + 4 = 0 ;Longrightarrow; v',v,x = -2l(v^2+2r)

Passo 4

Escrevendo v'=tfracdvdx e separando variáveis:
vv^2+2,dv = -2,dxx
Agora integramos ambos os lados:
integral vv^2+2,dv = integral -2,dxx ;Longrightarrow; 12lnl(v^2+2r) = -2ln x + C1
Elevando exponencial e renomeando a constante:
v^2 + 2 = C,x^-4, C=e^2C1

Passo 5

Voltando à variável original y=v x:
l(tfracyxr)^2 + 2 = C,x^-4 ;Longrightarrow; y^2x^2 = C,x^-4 - 2 ;Longrightarrow; y^2 = C,x^-2 - 2x^2

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy^2 = C,x^-2 ;-; 2,x^2, CinR

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