(2 pts) Verifique que o campo F(x, y, z)=(2 x y+z, x^2, x) é um campo conservativo e determine o trabalho realizado contra o campo ao se mover do ponto P=(1,-1,2) até Q=(2,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = (2xy + z, x^2, x) e precisamos verificar se ele é conservativo. Depois, vamos calcular o trabalho realizado contra esse campo ao mover de P = (1, -1, 2) até Q = (2, 2, 3). Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular trabalho nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y, z) tal que F = nabla phi. Isso significa que o campo pode ser derivado de uma única função potencial. Uma maneira comum de verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional ( nabla times F) e ver se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Substituindo os componentes de F:
F1 = 2xy + z, F2 = x^2, F3 = x
Calculando as derivadas parciais:
partial F3partial y = 0, partial F2partial z = 0
partial F1partial z = 1, partial F3partial x = 1
partial F2partial x = 2x, partial F1partial y = 2x
Então,
nabla times F = (0 - 0, 1 - 1, 2x - 2x) = (0, 0, 0)
Como o rotacional é zero, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y, z) tal que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )
Então, temos:
partial phipartial x = 2xy + z (1)
partial phipartial y = x^2 (2)
partial phipartial z = x (3)
Vamos integrar a equação (1) em relação a x:
phi(x, y, z) = integral (2xy + z) , dx = x^2 y + z x + g(y, z)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos à equação (2):
partial phipartial y = x^2 + partial gpartial y = x^2
Isso implica que partial gpartial y = 0, então g só depende de z, ou seja, g(z).
Agora, derivamos phi em relação a z e igualamos à equação (3):
partial phipartial z = x + d gd z = x
Isso implica que d gd z = 0, então g(z) é constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y, z) = x^2 y + z x

Passo 5

O trabalho realizado contra o campo ao mover de P para Q em um campo conservativo é dado pela diferença das funções potenciais:
W = phi(Q) - phi(P)
Calculando phi(Q) e phi(P):
phi(2, 2, 3) = (2)^2 cdot 2 + 3 cdot 2 = 8 + 6 = 14
phi(1, -1, 2) = (1)^2 cdot (-1) + 2 cdot 1 = -1 + 2 = 1
Então,
W = 14 - 1 = 13

Resposta

O trabalho realizado contra o campo ao mover de P para Q é 13 unidades de trabalho.

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