(2 pts) Verifique que o campo
é um campo conservativo e determine o trabalho realizado contra o campo ao se mover do ponto
até
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem um campo vetorial
e precisamos verificar se ele é conservativo. Depois, vamos calcular o trabalho realizado contra esse campo ao mover de
até
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular trabalho nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que o campo pode ser derivado de uma única função potencial. Uma maneira comum de verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional (
) e ver se ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Substituindo os componentes de
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Como o rotacional é zero, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Então, temos:
Vamos integrar a equação (1) em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à equação (2):
Isso implica que
, então
só depende de
, ou seja,
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à equação (3):
Isso implica que
, então
é constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
O trabalho realizado contra o campo ao mover de
para
em um campo conservativo é dado pela diferença das funções potenciais:
Calculando
e
:
Então,
Resposta
O trabalho realizado contra o campo ao mover de
para
é 13 unidades de trabalho.