Expreesse em coordenadas polares as equações retangulares dadas:
x y=1

Passo 1

O enunciado pede: expressar em coordenadas polares a equação retangular dada \;x\,y=1.\n
Informações fornecidas: a única equação é \;x\,y=1.\n
O objetivo é obter a mesma curva (mesmos pontos do plano) escrita em termos das coordenadas polares \;r e \;\theta.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a relação entre coordenadas retangulares (x,y) e polares (r,\theta). Por definição:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Aqui \;r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \;\theta é o ângulo entre o semieixo positivo x e o raio-vetor. Estas fórmulas são básicas: multiplica-se a distância r pela direção \cos\theta para obter a abscissa x e por \sin\theta para obter a ordenada y.

Passo 3

Agora substituímos \;x e \;y na equação original \;x\,y=1 usando as relações polares:
(r\cos\theta)(r\sin\theta)=1.
Multiplicando os fatores \;r obtemos
r^{2}\cos\theta\sin\theta=1.

Passo 4

Vamos simplificar a parte trigonométrica \;\cos\theta\sin\theta. Há uma identidade trigonométrica muito útil:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Isolando o produto \sin\theta\cos\theta obtemos
\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta).
Substituindo isso em \;r^{2}\cos\theta\sin\theta=1
r^{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2\theta)=1.

Passo 5

A partir da igualdade anterior isolamos \;r^{2}:
r^{2}=\frac{2}{\sin(2\theta)}.
Para que \;r^{2} seja um número real e não-negativo, é necessário que o denominador seja positivo:
\sin(2\theta)>0.
Tomando raiz quadrada (e lembrando que, na forma polar padrão, \;r\ge 0) temos a expressão explícita de r:
r=\sqrt{\dfrac{2}{\sin(2\theta)}}\qquad\text{com}\qquad \sin(2\theta)>0.

Passo 6

Vamos interpretar o domínio \;\sin(2\theta)>0. A função \sin é positiva quando o argumento está em intervalos da forma (0,\pi)+2k\pi. Assim:
2\theta\in(0,\pi)+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)+k\pi.
Isto significa que os pontos da curva estão nos ramos onde \theta está em (0,\tfrac{\pi}{2}) (primeiro quadrante) ou em (\pi,\tfrac{3\pi}{2}) (terceiro quadrante), e repetidos a cada \pi — exatamente os dois ramos da hipérbole \;xy=1 (um em quadrante I e outro em quadrante III).

Passo 7

Exemplo numérico para fixar: se \;\theta=\tfrac{\pi}{4} temos \;\sin(2\theta)=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1, então \;r=\sqrt{2}. Convertendo de volta:
x=r\cos\theta=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1,\qquad y=1,
logo x y=1 — consistência checada.

Resposta

r^{2}\cos\theta\sin\theta=1
r=\sqrt{\dfrac{2}{\sin(2\theta)}},\qquad \sin(2\theta)>0 \\ (\text{isto é, }\theta\in(0,\tfrac{\pi}{2})+k\pi)é

Exercícios relacionados