Expreesse em coordenadas polares as equações retangulares dadas:
Passo 1
O enunciado pede: expressar em coordenadas polares a equação retangular dada
.\n
Informações fornecidas: a única equação é .\n
O objetivo é obter a mesma curva (mesmos pontos do plano) escrita em termos das coordenadas polares e
.
Informações fornecidas: a única equação é
O objetivo é obter a mesma curva (mesmos pontos do plano) escrita em termos das coordenadas polares
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a relação entre coordenadas retangulares
e polares
. Por definição:
Aqui
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo entre o semieixo positivo
e o raio-vetor. Estas fórmulas são básicas: multiplica-se a distância
pela direção
para obter a abscissa
e por
para obter a ordenada
.
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação original
usando as relações polares:
Multiplicando os fatores
obtemos
Passo 4
Vamos simplificar a parte trigonométrica
. Há uma identidade trigonométrica muito útil:
Isolando o produto
obtemos
Substituindo isso em
dá
Passo 5
A partir da igualdade anterior isolamos
:
Para que
seja um número real e não-negativo, é necessário que o denominador seja positivo:
Tomando raiz quadrada (e lembrando que, na forma polar padrão,
) temos a expressão explícita de
:
Passo 6
Vamos interpretar o domínio
. A função
é positiva quando o argumento está em intervalos da forma
. Assim:
Isto significa que os pontos da curva estão nos ramos onde
está em
(primeiro quadrante) ou em
(terceiro quadrante), e repetidos a cada
— exatamente os dois ramos da hipérbole
(um em quadrante I e outro em quadrante III).
Passo 7
Exemplo numérico para fixar: se
temos
, então
. Convertendo de volta:
logo
— consistência checada.