Expreesse d yd x em termos de x e de y, onde y=f(x) é um função derivável dada implicitamente pela equação:
x y=tg y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dydx em termos de x e y, sabendo que y=f(x) satisfaz implicitamente a equação x y = tan y. Vamos usar diferenciação implícita, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Começamos diferenciando ambos os lados da igualdade em relação a x. No lado esquerdo, aplicando a regra do produto em xcdot y, temos:
ddx(x y)=y + xdydx
No lado direito, diferenciando tan y pela regra da cadeia, obtemos:
ddx(tan y)=sec^2(y)cdotdydx

Passo 3

Agora igualamos as duas derivadas:
y + xdydx=sec^2(y)dydx

Passo 4

Em seguida, isolamos os termos que contêm dydx. Subtraindo sec^2(y)dydx de ambos os lados e também subtraindo y, fica:
xdydx-sec^2(y)dydx=-y

Passo 5

Fatorando dydx no lado esquerdo:
dydxl(x-sec^2(y)r)=-y

Passo 6

Por fim, isolamos dydx dividindo ambos os lados por (x-sec^2(y)):
dydx=-yx-sec^2(y)=ysec^2(y)-x

Resposta

dydx=ysec^2(y)-x

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