Questão 2. Se T denota o triângulo que liga os pontos z=0, z=1 e z=1+i orientado positivamente, calcule as integrais abaixo:
integralT z^2 d z;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada de z^2 ao longo do triângulo T com vértices em 0,1,1+i, orientado positivamente. O conteúdo aqui é integração de funções holomorfas em contornos fechados e o que vamos usar é o Teorema de Cauchy.

Passo 2

Repare que a função f(z)=z^2 é polinomial, logo é holomorfa (analítica) em toda a reta complexa. Isso significa que não há singularidades dentro do triângulo nem em sua fronteira.

Passo 3

Pelo Teorema de Cauchy para funções holomorfas, a integral de uma função analítica ao longo de qualquer curva fechada é zero. Como T é um contorno fechado e z^2 é holomorfa em toda a região encerrada por T, temos que a integral vale zero.

Resposta

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