Mostre que:
e calcule
Passo 1
A questão pede para mostrar a fórmula geral
e depois calcular o caso concreto
. Vamos usar integração por partes repetida para chegar nessa expressão.
Passo 2
Para demonstrar a fórmula geral, aplicamos integração por partes em
escolhendo
e
. Então
o que dá
Essa é a relação de recorrência que reduz o expoente em 1 a cada aplicação.
Passo 3
Repetindo essa etapa
vezes, reduzimos o integral até
. Com isso obtemos, por indução, o somatório
Passo 4
Para calcular
, basta colocar
. Temos
e
Resposta
[
e{x}\bigl(x{7}-7x{6}+42x{5}-210x{4}+840x{3}-2520x^{2}+5040x-5040\bigr)+C
]
e{x}\bigl(x{7}-7x{6}+42x{5}-210x{4}+840x{3}-2520x^{2}+5040x-5040\bigr)+C
]