Mostre que:
integral x^n e^x d x=e^x(sumi=0^i=n((-1)^i n!(n-i)! x^n-i))+C
e calcule (e^x(x^7-7 x^6+42 x^5-210 x^4+840 x^3-2520 x^2+5040 x-5040)+C )

Passo 1

A questão pede para mostrar a fórmula geral
integral x^ne^x,dx = e^xsumi=0^n(-1)^in!(n-i)!x^n-i + C
e depois calcular o caso concreto n=7. Vamos usar integração por partes repetida para chegar nessa expressão.

Passo 2

Para demonstrar a fórmula geral, aplicamos integração por partes em
integral x^ne^x,dx
escolhendo
u = x^n e dv = e^xdx. Então
du = n x^n-1dx, v = e^x,
o que dá
integral x^ne^xdx = x^ne^x - n integral x^n-1e^xdx
Essa é a relação de recorrência que reduz o expoente em 1 a cada aplicação.

Passo 3

Repetindo essa etapa n vezes, reduzimos o integral até integral x^0e^xdx = e^x. Com isso obtemos, por indução, o somatório
integral x^ne^xdx = e^xsumi=0^n(-1)^in!(n-i)!x^n-i + C

Passo 4

Para calcular integral x^7e^xdx, basta colocar n=7. Temos 7! = 5040 e
sumi=0^7(-1)^i7!(7-i)!x^7-i = x^7-7x^6+42x^5-210x^4+840x^3-2520x^2+5040x-5040

Resposta

[
e{x}\bigl(x{7}-7x{6}+42x{5}-210x{4}+840x{3}-2520x^{2}+5040x-5040\bigr)+C
]

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