Questão 2. Se
denota o triângulo que liga os pontos
orientado positivamente, calcule as integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
sobre o triângulo com vértices em
e
, orientado positivamente. Vamos usar teoria de funções de variável complexa e o teorema de Green/Cauchy–Green para integrar uma função que depende de
.
Passo 2
Como
não é holomorfa, podemos usar a fórmula de Cauchy–Green: se
é suave, então
Aqui
, e
Portanto
Passo 3
Vamos descrever o domínio
no plano
: os vértices são
,
e
. O lado oblíquo é a reta
. A região interior, respeitando a orientação positiva, é
o conjunto de pontos com
o conjunto de pontos com
Logo,
$$
\iint_{T}\bar z,dA = \iint_{T}(x - i y),dydx = \int_{0}^{1}!
\Bigl[\int_{0}^{x}(x - i y),dy\Bigr]dx.
\Bigl[\int_{0}^{x}(x - i y),dy\Bigr]dx.
\int_{0}^{x}(x - i y),dy = x\cdot x - i\frac{x^{2}}{2} = x^{2} - i\frac{x^{2}}{2}.
\iint_{T}\bar z,dA = \int_{0}{1}\Bigl(x{2} - i\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr)dx = \frac{1}{3} - i\frac{1}{6}.
$$
Passo 4
Finalmente, substituindo em
:
Passo 5
Portanto, o valor da integral é dado por
.