Questão 2. Se T denota o triângulo que liga os pontos z=0, z=1 e z=1+i orientado positivamente, calcule as integrais abaixo:
integralT barz^2 d z;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno integralTz^2,dz sobre o triângulo com vértices em 0,,1 e 1+i, orientado positivamente. Vamos usar teoria de funções de variável complexa e o teorema de Green/Cauchy–Green para integrar uma função que depende de bar z.

Passo 2

Como bar z^2 não é holomorfa, podemos usar a fórmula de Cauchy–Green: se f(z,bar z) é suave, então
integralpartial D f(z,bar z),dz = 2iintegral duplaD partial fpartial bar z,dA
Aqui f(z,bar z)=bar z^2, e
partialpartialbar z(bar z^2) = 2bar z
Portanto
integralTbar z^2,dz = 2iintegral duplaT2bar z,dA = 4iintegral duplaTbar z,dA

Passo 3

Vamos descrever o domínio T no plano (x,y): os vértices são (0,0), (1,0) e (1,1). O lado oblíquo é a reta y=x. A região interior, respeitando a orientação positiva, é
o conjunto de pontos com
0<= x<=1, 0<= y<= x
Logo,
$$
\iint_{T}\bar z,dA = \iint_{T}(x - i y),dydx = \int_{0}^{1}!
\Bigl[\int_{0}^{x}(x - i y),dy\Bigr]dx.
integral duplaTbar z,dA = integral duplaT(x - i y),dydx = integral0^1! l[integral0^x(x - i y),dyr]dx
\int_{0}^{x}(x - i y),dy = x\cdot x - i\frac{x^{2}}{2} = x^{2} - i\frac{x^{2}}{2}.
integral0^x(x - i y),dy = xcdot x - ix^22 = x^2 - ix^22
\iint_{T}\bar z,dA = \int_{0}{1}\Bigl(x{2} - i\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr)dx = \frac{1}{3} - i\frac{1}{6}.
$$

Passo 4

Finalmente, substituindo em 4iintegral duplaTbar z,dA:
integralTbar z^2,dz = 4il(13 - i16r) = 4i3 - 4i^26 = 4i3 + 46 = 23 + 4i3

Passo 5

Portanto, o valor da integral é dado por tfrac2+4i3.

Resposta

2+4i3

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