Show that Lt^2 u(t-2)=2 e^-2 ss^3(1+2 s+2 s^2), s>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função deslocada
t^2u(t-2),
onde u(t-2) é o degrau de Heaviside que “liga” a partir de t=2. Vamos usar a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
aplicada a uma função que vale zero até t=2 e depois vale t^2.

Passo 2

Escrevemos a integral da definição diretamente
Lt^2u(t-2)(s) =integral0^inftyt^2u(t-2),e^-stdt =integral2^inftyt^2e^-stdt
Para resolver essa integral, fazemos a mudança de variável
tau = t-2, de modo que t=tau+2 e, quando t vai de 2 até infty, tau vai de 0 até infty.

Passo 3

Com tau=t-2 obtemos
integral2^inftyt^2e^-stdt =e^-2sintegral0^infty(tau+2)^2e^-staudtau
porque e^-st=e^-s(tau+2)=e^-2se^-stau. Agora expandimos (tau+2)^2=tau^2+4tau+4 e integramos termo a termo:
integral0^infty(tau^2+4tau+4)e^-staudtau =integral0^inftytau^2e^-staudtau +4integral0^inftytau e^-staudtau +4integral0^inftye^-staudtau

Passo 4

Usamos a fórmula geral
integral0^inftytau^ne^-staudtau =n!s^,n+1, s>0,
para n=2,1,0:
integral0^inftytau^2e^-staudtau=2!s^3=2s^3, integral0^inftytau e^-staudtau=1!s^2=1s^2, integral0^inftye^-staudtau=1s

Passo 5

Substituindo na integral expandida, temos
integral0^infty(tau^2+4tau+4)e^-staudtau =2s^3+4cdot1s^2+4cdot1s =2+4s+4s^2s^3
Multiplicando por e^-2s que saiu na Passo 3, concluímos
Lt^2u(t-2)(s) =e^-2s,2+4s+4s^2s^3 =2e^-2ss^3l(1+2s+2s^2r)

Resposta

Lt^2u(t-2)(s) =2e^-2ss^3l(1+2s+2s^2r), s>0

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