Express the field \mathbf{E}=A \mathbf{a}_{r} / r^{2} in
a) rectangular components:
b) cylindrical components:

Passo 1

O enunciado dá o campo \mathbf{E} = A\,\mathbf{a}_r / r^2 em coordenadas esféricas e pede as componentes em sistemas cartesiano e cilíndrico. Para isso vamos usar as relações de mudança de base entre as uni­dades esféricas, cartesianas e cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},
e a unidade radial esférica se escreve
\mathbf{a}_r = \frac{x\,\mathbf{a}_x + y\,\mathbf{a}_y + z\,\mathbf{a}_z}{r}.

Passo 3

Multiplicando por A/r^2 obtemos
\mathbf{E} = \frac{A}{r^2}\,\mathbf{a}_r = \frac{A}{r^2}\,\frac{x\,\mathbf{a}_x + y\,\mathbf{a}_y + z\,\mathbf{a}_z}{r} = \frac{A\,x}{r^3}\,\mathbf{a}_x + \frac{A\,y}{r^3}\,\mathbf{a}_y + \frac{A\,z}{r^3}\,\mathbf{a}_z.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas definimos
\rho = \sqrt{x^2 + y^2},\quad z = z,\quad r = \sqrt{\rho^2 + z^2},
e a unidade radial esférica em função das uni­dades cilíndricas é
\mathbf{a}_r = \frac{\rho\,\mathbf{a}_\rho + z\,\mathbf{a}_z}{r}.

Passo 5

Substituindo em \mathbf{E} = A\,\mathbf{a}_r / r^2 resulta
\mathbf{E} = \frac{A}{r^2}\,\frac{\rho\,\mathbf{a}_\rho + z\,\mathbf{a}_z}{r} = \frac{A\,\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_\rho + \frac{A\,z}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_z.

Resposta

Parte a)
\mathbf{E} = \frac{A\,x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_x + \frac{A\,y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_y + \frac{A\,z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_z.
Parte b)
\mathbf{E} = \frac{A\,\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_\rho + \frac{A\,z}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_z.

Exercícios relacionados