The vector field \mathbf{E}=(B / \rho) \mathbf{a}_{\rho}, where B is a constant, is to be translated such that it originates at the line, x=2, y=0. Write the translated form of \mathbf{E} in rectangular components:

Passo 1

O enunciado dá o campo em coordenadas cilíndricas,
\mathbf{E} = \frac{B}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho},
cujo eixo original é a linha (x=0,y=0). Queremos agora que esse mesmo tipo de campo tenha como eixo a linha paralela a z que passa por (x=2,y=0). Para isso, basta trocar \rho pela distância ao novo eixo e \mathbf{a}_{\rho} pelo correspondente unitário.

Passo 2

A distância \rho' de um ponto (x,y) até a linha x=2, y=0 é
\rho' = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}.

Passo 3

O versor radial em relação a essa linha, \mathbf{a}_{\rho'}, aponta de (2,0) até (x,y), logo
\mathbf{a}_{\rho'} = \frac{(x-2)\,\mathbf{a}_x + y\,\mathbf{a}_y}{\rho'}.

Passo 4

Substituindo \rho\to\rho' e \mathbf{a}_{\rho}\to\mathbf{a}_{\rho'} no campo original, obtemos
\mathbf{E} = \frac{B}{\rho'}\,\mathbf{a}_{\rho'} = \frac{B}{\rho'}\;\frac{(x-2)\,\mathbf{a}_x + y\,\mathbf{a}_y}{\rho'} = B\,\frac{(x-2)\,\mathbf{a}_x + y\,\mathbf{a}_y}{\bigl((x-2)^2+y^2\bigr)}.

Resposta

E_x = B\,\frac{x-2}{(x-2)^2 + y^2}, \quad E_y = B\,\frac{y}{(x-2)^2 + y^2}, \quad E_z = 0.

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