Uma roldana é composta por um disco de plástico de raio R e massa 2 m no núcleo de um aro de aço de raios R e massa m. Em uma máquina de Atwood uma corda ideal (inelástica e de massa desprezível) passa em torno da roldana ligando dois pratos de massa 2 m e 4 m. O prato
mais leve está inicialmente no chão quando o sistema é liberado a partir repouso. A aceleração da gravidade é g.

(a) Calcule a energia mecânica do sistema no repouso e também no instante em que o prato atinge o solo.
(b) Calcule a velocidade do prato mais pesado quando ele atinge o solo (há várias maneiras de resolver isso).
(c) Calcule a aceleração dos pratos.

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina de Atwood em que a corda passa por uma roldana composta por um disco de plástico (massa 2m, raio R) e um aro de aço (massa m, mesmo raio R). Nas extremidades da corda estão dois pratos de massa 2m (mais leve) e 4m (mais pesado), separados por uma distância h. O sistema parte do repouso com o prato de massa 2m no chão e, ao ser liberado, o prato de massa 4m desce até o solo. Vamos usar:
– energia potencial gravitacional \displaystyle U=mgh,
– conservação de energia mecânica (não há atrito),
– dinâmica de Newton para cada massa e torque na roldana.

Passo 2

Calculamos primeiro o momento de inércia da roldana. Tem-se a soma do momento de um disco e de um aro, ambos de raio R:
I_{\rm disco}=\tfrac12\,(2m)\,R^2 = mR^2, \quad I_{\rm aro}=m\,R^2,
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I = I_{\rm disco}+I_{\rm aro} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2.

Passo 3

(a) Energia mecânica no repouso (inicial). Escolhendo nível zero de potencial no solo para cada prato:
– prato de massa 2m no chão \Rightarrow U_1=0,
– prato de massa 4m a uma altura h \Rightarrow U_2=4mgh.
Não há energia cinética, então
E_{\rm i} = 0 + 4mgh = 4mgh.
Energia mecânica no instante em que o prato 4m atinge o solo (final):
– agora o prato 4m está em U_2'=0,
– o prato 2m subiu até h, então U_1'=2mgh,
– ambos os pratos têm a mesma velocidade v e geram cinética translacional \tfrac12(2m)v^2 + \tfrac12(4m)v^2 = 3m\,v^2,
– a roldana gira com \omega = v/R e cinética rotacional \tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12\,(2mR^2)\,(v^2/R^2) = m\,v^2.
Assim
E_{\rm f} = 2mgh + 3m\,v^2 + m\,v^2 = 2mgh + 4m\,v^2.

Passo 4

(b) Usando conservação de energia E_{\rm i}=E_{\rm f}:
4mgh = 2mgh + 4m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad 2mgh = 4m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{gh}{2} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{gh}{2}}.

Passo 5

(c) Aceleração dos pratos pela abordagem dinâmica. Chamemos T_1\) a tensão do lado do prato \(2m\) e \(T_2\) a tensão do lado do prato \(4m\). Para cada prato e para a roldana: \[\begin{cases} T_1 - 2m\,g = 2m\,a,\\\\ 4m\,g - T_2 = 4m\,a,\\\ (T_2 - T_1)\,R = I\,\dfrac{a}{R}. \end{cases}
Substituindo (I=2mR^2] na terceira equação dá
T_2 - T_1 = 2m\,a.
Das duas primeiras:
T_1 = 2m(g + a), \quad T_2 = 4m(g - a).
Então
4m(g - a) - 2m(g + a) = 2m\,a \;\Longrightarrow\; 2m\,g -6m\,a =2m\,a \;\Longrightarrow\; 2m\,g =8m\,a \;\Longrightarrow\; a = \frac{g}{4}.

Resposta

(a) E_{\rm i}=4mgh, \quad E_{\rm f}=2mgh+4m\,v^2 (e de fato E_{\rm f}=4mgh).
(b) v=\displaystyle\sqrt{\tfrac{gh}{2}}.
(c) a=\displaystyle \tfrac{g}{4}.

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