O módulo de um número [x \in \mathbb{R}) é definido como
|x|= \begin{cases}x, & \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, & \text { se } x<0\end{cases}
Dessa forma, o módulo de um número positivo é ele mesmo; enquanto que o módulo de um número negativo é seu oposto. A distância entre dois números x, y \in \mathbb{R}\] é definida como \(d(x, y)=|x-y|.
\left|\frac{1}{x}\right|<4

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade \left|\dfrac{1}{x}\right|<4 e pede que a gente encontre todos os x\in\mathbb{R} que a satisfazem. Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de módulo: |y|=y se y\ge 0 e |y|=-y se y<0.
  • A distância entre números não é necessária diretamente aqui, mas sabemos que |\cdot| sempre retorna um número não negativo.
  • Importante: a expressão \dfrac{1}{x} só existe para x\neq 0. Portanto x=0 já está automaticamente fora da solução.

Passo 2

Uma propriedade útil do módulo é que, para x\neq 0,
\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}.
Explicando: |1/x|=|1|/|x|=1/|x|, pois o módulo transforma produtos e quocientes em produtos e quocientes dos módulos. Assim a desigualdade original é equivalente a
\frac{1}{|x|}<4.

Passo 3

Agora vamos resolver \dfrac{1}{|x|}<4. Note que |x|>0 quando x\neq0, então podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por |x| sem inverter o sinal:
1<4|x|.
Dividindo por 4 (número positivo) obtemos
\;|x|>\frac{1}{4}.

Passo 4

Interpretando |x|>\dfrac{1}{4}: a definição de módulo diz que |x|>\dfrac{1}{4} significa que x está a uma distância maior que \dfrac{1}{4} da origem, ou seja,
x>\frac{1}{4}\quad\text{ou}\quad x<-\frac{1}{4}.
Isso cobre todos os x com magnitude maior que \dfrac{1}{4}; note que x=0 não satisfaz (e já foi excluído).

Passo 5

Vamos checar rapidinho com exemplos para ganhar confiança: se x=\tfrac{1}{2} então \left|\dfrac{1}{x}\right|=2<4 (funciona). Se x=\tfrac{1}{10} então \left|\dfrac{1}{x}\right|=10\not<4 (não funciona). Se x=-1 então \left|\dfrac{1}{x}\right|=1<4 (funciona). Esses exemplos batem com |x|>\tfrac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle x\in\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{1}{4},\infty\right)

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