( 1,0 \mathrm{pt} ) - Máximos e Mínimos (sem restrição)
Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x-2 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x-2y.
O conteúdo é otimização sem restrição em duas variáveis: vamos usar o gradiente para achar pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4,
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2.
Para encontrar pontos críticos, impomos
2x-4=0,\quad 2y-2=0,
o que dá x=2 e y=1. Assim, existe um único ponto crítico em (2,1).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana de f:
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Como os autovalores são 2>0 e 2>0, a Hessiana é definida positiva, indicando que (2,1) é um mínimo (local e global, pois f é convexa).

Passo 4

Calculamos o valor de f em (2,1):
f(2,1)=2^{2}+1^{2}-4\cdot2-2\cdot1=4+1-8-2=-5.
Portanto, o ponto crítico (2,1) é um mínimo de valor -5.

Resposta

O único ponto crítico é (2,1), que é um mínimo global com f(2,1)=-5.

Exercícios relacionados