(
) - Máximos e Mínimos (sem restrição)
Determine e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo é otimização sem restrição em duas variáveis: vamos usar o gradiente para achar pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para encontrar pontos críticos, impomos
o que dá
e
. Assim, existe um único ponto crítico em
.
Passo 3
Formamos a matriz Hessiana de
:
Como os autovalores são
e
, a Hessiana é definida positiva, indicando que
é um mínimo (local e global, pois
é convexa).
Passo 4
Calculamos o valor de
em
:
Portanto, o ponto crítico
é um mínimo de valor
.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um mínimo global com
.