(1,0 pt) - Integral Dupla (reta)
Calcule a integral dupla:
\iint_{R}(x+y) d x d y
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas x=0, y=0 e x+y=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de x+y sobre a região R que é um triângulo no primeiro quadrante limitado por x=0, y=0 e x+y=1. O conteúdo aqui é integrais duplas e integração iterada: primeiro descrevemos R, depois montamos os limites e, por fim, integrarmos em ordem apropriada.

Passo 2

A região R é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Se fixamos um valor de y em [0,1], o x varia de 0 até 1-y. Portanto, faz sentido integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 3

Montamos a integral iterada como
\iint_{R}(x+y)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{1-y}(x+y)\,dx\,dy.

Passo 4

Calculamos a integral interna em relação a x, tratando y como constante:
\int_{0}^{1-y}(x+y)\,dx = \biggl[\frac{x^{2}}{2}+yx\biggr]_{0}^{1-y} = \frac{(1-y)^{2}}{2}+y(1-y) = \frac{1 - y^{2}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}\frac{1 - y^{2}}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1 - y^{2})\,dy = \frac{1}{2}\biggl[y - \frac{y^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \tfrac{1}{3}\Bigr) = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados