A expressão \frac{\mathrm{i} \cdot(\mathrm{i}-1) \cdot(\mathrm{i}-2) \cdot(\mathrm{i}-3)}{10}, é igual a:
a) 1
b) i
c) -1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\displaystyle \frac{\mathrm{i}\cdot(\mathrm{i}-1)\cdot(\mathrm{i}-2)\cdot(\mathrm{i}-3)}{10}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \mathrm{i} é a unidade imaginária, portanto vale \mathrm{i}^2=-1. Não há outras restrições.

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar os dois primeiros fatores: \mathrm{i} e (\mathrm{i}-1). Usamos a propriedade distributiva, que diz que a(b+c)=ab+ac. Assim,
\mathrm{i}\cdot(\mathrm{i}-1)=\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}-\mathrm{i}= \mathrm{i}^2-\mathrm{i}.
Como \mathrm{i}^2=-1, isso vira
\mathrm{i}\cdot(\mathrm{i}-1) = -1 - \mathrm{i}.

Passo 3

Agora multiplicamos os dois últimos fatores: (\mathrm{i}-2) e (\mathrm{i}-3). Novamente usamos distributiva (FOIL):
(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}-3)=\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}-3\mathrm{i}-2\mathrm{i}+6=\mathrm{i}^2-5\mathrm{i}+6.
Substituindo \mathrm{i}^2=-1 obtemos
(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}-3) = -1 -5\mathrm{i} +6 = 5 -5\mathrm{i}.

Passo 4

Multiplicamos agora os resultados dos Passos 2 e 3:
(-1-\mathrm{i})\cdot(5-5\mathrm{i}).
Fatorando 5 no segundo parêntese:
(-1-\mathrm{i})(5-5\mathrm{i}) = 5(-1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i}).
Calculamos (-1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) usando FOIL:
(-1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) = (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-\mathrm{i}) + (-\mathrm{i})\cdot1 + (-\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i})
= -1 + \mathrm{i} - \mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = -1 + 0 + (-1) = -2.
Portanto
(-1-\mathrm{i})(5-5\mathrm{i}) = 5\cdot(-2) = -10.

Passo 5

Finalmente dividimos pelo denominador 10:
\frac{-10}{10} = -1.
Logo a expressão inteira vale -1.

Resposta

-1

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