Questão 09 (PUC - SP)
A expressão \frac{\overline{1-i}}{1-i} é igual a:
a) i
b) 2 i
c) 3 i
d) 4 i
e)
-2 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão \displaystyle \frac{\overline{1-i}}{1-i} e escolher a alternativa correta entre:
a) i
b) 2i
c) 3i
d) 4i
e) -2i
Informações dadas: a expressão envolve o conjugado de um número complexo e uma divisão entre números complexos.

Passo 2

Vamos lembrar o que é conjugado de um número complexo. Se z é um complexo escrito como z=a+bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária com a propriedade i^2=-1, então o conjugado de z é
\overline{z}=a-bi.
Exemplo rápido: se z=3-4i, então \overline{z}=3+4i.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o número complexo dado é 1-i. Pelo passo anterior, o conjugado de 1-i é
\overline{1-i}=1+i.
Portanto a expressão fica
\frac{\overline{1-i}}{1-i}=\frac{1+i}{1-i}.

Passo 4

Para dividir complexos sem deixar um denominador complexo, o truque padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1-i já vimos que é 1+i. Assim multiplicamos ambos por 1+i:
\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.

Passo 5

Calculemos o numerador. Temos (1+i)(1+i)=(1+i)^2. Expandindo:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2.
Como i^2=-1, isso vira
1 + 2i + (-1)=2i.

Passo 6

Agora o denominador. Multiplicando conjugados:
(1-i)(1+i)=1-i^2.
Como i^2=-1, obtemos
1-(-1)=1+1=2.

Passo 7

Substituindo numerador e denominador calculados:
\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}.
Simplificando a fração, obtemos o resultado
i.

Resposta

i

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